拋物線的簡單幾何性質(zhì)

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1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)一、復(fù)習(xí)回顧：.FM.－－拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1、拋物線的定義：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：3、橢圓和雙曲線的性質(zhì)：結(jié)合拋物線y2=2px(p>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的幾何性質(zhì):(1)范圍(2)對稱性(3)頂點(diǎn)類比探索x≥0,y∈R關(guān)于x軸對稱,對稱軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn).二、講授新課：.yxoF(4)離心率(5)焦半徑(6)通徑e=1通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。

2、PF

3、=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2P方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)焦

4、半徑焦點(diǎn)弦的長度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的e=1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊---本質(zhì)是成比例地放大！例1.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原

5、點(diǎn),對稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點(diǎn)M(2,)的拋物線有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)焦點(diǎn)在x[或y]軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=mx(m≠0)[或x2=my(m≠0)],可避免討論！三、例題選講：思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？繼續(xù)與直線的傾斜角無關(guān)!很奇怪!解完后回味一下,這是一個(gè)很好的解題習(xí)慣,利于提高!返回這一結(jié)論非常奇妙,變中有不變,動中有不動.繼續(xù)大膽猜想太漂亮了!坐標(biāo)法是一種非常好的證明,你還有沒有其他好方法呢?本題幾何法也是一個(gè)極佳的思維!lFAxyBB1pp1A1二、拋物線的焦點(diǎn)弦：lFAxyBB1pp1A1通徑就是過焦點(diǎn)且垂直于x軸的線段長為2p即為的最小值

6、.F.F.F.F6、已知直線l：x=2p與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.證明：由題意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OBxyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)變式1:若直線l過定點(diǎn)(2p,0)且與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.xyOy2=2pxABlP(2p,0)變式2：若直線l與拋物線=2px(p>0)交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，則__________.直線l過定點(diǎn)(2p,0)xyOy2=2pxABlP07十月2021直線和拋物線的位置關(guān)系一、復(fù)習(xí)回顧：直線與圓、橢圓、雙曲

7、線的位置關(guān)系的判斷方法：1、根據(jù)幾何圖形判斷的直接判斷2、直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的個(gè)數(shù)形數(shù)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離Fxy問題：你能說出直線與拋物線位置關(guān)系嗎？二、講授新課：幾何畫板演示判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序：把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離總結(jié)：2答案試試看!例2、已知拋物線C

8、：y2＝4x，設(shè)直線與拋物線兩交點(diǎn)為A、B，且線段AB中點(diǎn)為M（2，1），求直線l的方程.說明：中點(diǎn)弦問題的解決方法：①聯(lián)立直線方程與曲線方程求解②點(diǎn)差法1、在拋物線y2=64x上求一點(diǎn)，使它到直線Ｌ：4x+3y+46=0的距離最短，并求此距離..F附：補(bǔ)充例題：2、已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.FABM解：xoy解法二：xoyFABMCND2、已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值..F解：拋物線的對稱性問題例.已知直線過原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

9、都在拋物線上，求直線和拋物線的方程。類型四　　拋物線的最值與定值問題[例4]如圖6，已知△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2＝2x的頂點(diǎn)O，A、B兩點(diǎn)都在拋物線上，且∠AOB＝90°.(1)證明直線AB必過一定點(diǎn)；(2)求△AOB面積的最小值．遷移體驗(yàn)4如圖7所示，已知直線l：y＝2x－4與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，試在拋物線的弧AOB上找一點(diǎn)P，使△PAB的面積S最大，并求出這個(gè)最大面積．[例5]設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程．[辨析]錯(cuò)因只考慮到了m>0的情況，而m<