拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

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1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)精講】拋物線的幾何性質(zhì)、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程列表如下：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(,0)(-,0)(0,)(0，-)準(zhǔn)線方程x=-x=y=-y=范圍x≥0x≤0y≥0y≤0對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0，0)(0，0)(0，0)(0，0)離心率e=1e=1e=1e=1焦半徑｜PF｜=x0+｜PF｜=-x0｜PF｜=+y0｜PF｜=-y0參數(shù)p的幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開(kāi)口越闊.本節(jié)學(xué)習(xí)要求：1.拋物線方程的確定，先由幾何性質(zhì)確定拋物線的

2、標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求其方程.2.解決有拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題及弦長(zhǎng)問(wèn)題與橢圓、雙曲線一樣，利用弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及判別式解決.3.拋物線中有關(guān)軌跡與證明問(wèn)題也與前面內(nèi)容一樣.常用方法有軌跡法、代入法、定義法.參數(shù)法等.證明的方法是解析法.通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，更進(jìn)一步培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題，提高分析問(wèn)題和解決的能力.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1.拋物線的幾何性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來(lái)，差別較大，它的離心率等于1；它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱(chēng)軸、一條準(zhǔn)線；它沒(méi)有中心.通常稱(chēng)拋物線為無(wú)心圓錐曲線，而稱(chēng)橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線.

3、應(yīng)熟練掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程.本節(jié)重點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，難點(diǎn)是幾何性質(zhì)的靈活應(yīng)用.例1已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸，拋物線上的點(diǎn)(x0，-8)到焦點(diǎn)的距離等于17，求拋物線方程.分析設(shè)方程為y2=2px(p＞0)或y2=-2px(p＞0)則x0+=17或-x0=17即x0=17-或x0=-17將(17-，-8)代入y2=2px解得p=2或p=32將(-17，-8)代入y2=-2px解得p=2或p=32∴所求拋物線方程為y2=±4x或y2=±64x.例2求拋物線y2=4x中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.分析本例可設(shè)平行弦的縱截距為參數(shù)、運(yùn)用判別式及韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式

4、來(lái)求，也可設(shè)點(diǎn)參數(shù)運(yùn)用點(diǎn)差法求解.設(shè)AB是拋物線中斜率為2的平行弦中任一條弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點(diǎn)M(x,y)由得：y=1代入y2=4x得x=∴軌跡方程為y=1(x＞)例3設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明表示什么曲線.分析設(shè)A(4pt21,4pt1)，B(4pt22,4pt2)，OA、OB的斜率分別為kOA、kOB則kOA=,kOB=由OA⊥OB，得kOA·kOB==-1t1t2=-1①∵點(diǎn)A在AB上，得直線AB的方程為y-4pt1=(x-4pt21)②由OM⊥AB，得直線OM

5、方程為y=-(t1+t2)x③設(shè)點(diǎn)M(x,y),則x,y滿足②③兩式將②化為：y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p④由③×④得：x2+y2-4px=0∵A、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)∴x≠0∴點(diǎn)M的軌跡是以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓(去掉原點(diǎn)).【難題巧解點(diǎn)撥】例1已知拋物線y2=2px上兩點(diǎn)A、B，BC⊥x軸交拋物線于C，AC交x軸于E，BA延長(zhǎng)交x軸于D，求證：O為DE中點(diǎn).分析只需證出D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)即可，設(shè)A(2pt21,2pt1)，B(2pt22,2pt2)則C(2pt22,-2pt2)AC：y-2pt1=(x-2pt21)令y=0,得xD=2pt1t

6、2BA：y-2pt1=(x-2pt21)令y=0,得xE=-2pt1t2∴xD+xE=0即O為DE中點(diǎn).例2設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)A(0，2)且以x軸為準(zhǔn)線.(Ⅰ)試求拋物線頂點(diǎn)M的軌跡C的方程；(Ⅱ)如果點(diǎn)P(a,1)不在線段y=1(-2≤x≤2)上，那么當(dāng)a取何值時(shí)，過(guò)P點(diǎn)存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與曲線C各有兩個(gè)交點(diǎn)?分析(Ⅰ)設(shè)拋物線頂點(diǎn)M(x,y)，y＞0，則其焦點(diǎn)為F(x,2y).據(jù)拋物線定義有=2即+(y-1)2=1(y≠0)∴拋物線頂點(diǎn)M的軌跡C的方程是+(y-1)2=1(y≠0)(Ⅱ)過(guò)P點(diǎn)的直線可設(shè)為l:y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲線C上，則消去y，得x

7、2+4k2(x-a)2=4即(1+4k2)x2-8k2ax+4(k2a2-1)=0∴△=16［k2(4-a2)+1］過(guò)點(diǎn)P存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)與曲線C各有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件是關(guān)于斜率k的不等式組有解∵點(diǎn)P不在直線y=1(-2≤x≤2)上，∴｜a｜＞2，4-a2＜0.∴上不等式組可化為∴a2-4<解a2＜5又｜a｜＞2,∴2＜｜a｜＜即a∈(-,-2)∪(2,)【命題趨勢(shì)分析】本節(jié)與橢圓、雙曲線的相同內(nèi)容相似，都是高考的重要內(nèi)容.圓錐曲線的基礎(chǔ)知