圓中的動(dòng)點(diǎn)問題

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1、圓中的動(dòng)態(tài)問題【方法點(diǎn)撥】圓中的動(dòng)態(tài)問題實(shí)際是圓的分類討論問題，做這種題型重要的是如何將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)，從而將題型變?yōu)榉诸愑懻摗镜湫屠}】題型一：圓中的折疊問題例題一（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長(zhǎng)度；②如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過圓心為O時(shí)，求的長(zhǎng)度；③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當(dāng)AB與C

2、D不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2。②當(dāng)經(jīng)過圓O時(shí)，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′?！摺鱋O′A，△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°?！嗟拈L(zhǎng)度。③如圖3所示，連接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB為等邊三角形。過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∴OE=OA?sin60°=。（2）①如圖4，當(dāng)折疊后的與

3、所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F，即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上?！逜B∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。又∵EF=4，∴點(diǎn)O到AB．CD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下：設(shè)O′，O″為和所在圓的圓心，∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)O″于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱，∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)?！哒郫B后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點(diǎn)P?！哒郫B

4、后的與所在圓與⊙O是等圓，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題）相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形，三角形中位線定理。【分析】（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長(zhǎng)度。②如圖2，過點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。③如圖3，連接O′A．O′B，過點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E，可得△AO′B為等邊三角形，根

5、據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離。（2）①如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EF⊥AB交于于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB．CD的距離之和。②由三角形中位線定理，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。變式一如圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦BC折疊后，劣弧BC與AB交于點(diǎn)D，得到．ODCAB（1）若＝，求證：必經(jīng)過圓心O；（2）若AB＝8，＝2，求BC的長(zhǎng)．變式二如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．（1）求∠BAC的度數(shù)；（2）將△ACD沿AC折疊為△AC

6、F，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長(zhǎng)FC和GB相交于點(diǎn)H；求證：四邊形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的長(zhǎng)．題型二：圓中的旋轉(zhuǎn)問題例題二(2011湖南常德,25.10分)已知△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓，P是AB的中點(diǎn)。（1）如圖8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點(diǎn)E、F，使，則有結(jié)論①.②四邊形是菱形。請(qǐng)給出結(jié)論②的證明；（2）如圖9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；（3）如圖10，若PC是⊙的切線，求證：（1）∵BC是⊙O2直徑，則O2是B

7、C的中點(diǎn)又P是AB的中點(diǎn)．，∴PO2是△ABC的中位線∴PO2＝AC又AC是⊙O1直徑∴PO2＝O1C＝AC同理PO1＝O2C＝BC∵AC＝BC∴PO2＝O1C＝PO1＝O2C∴四邊形是菱形（2）結(jié)論①△PO1E≌△PO2F成立，結(jié)論②不成立證明：在（1）中已證PO2＝AC，又O1E＝AC∴PO2＝O1E同理可得PO1＝O2F∵PO2是△ABC的中位線∴PO2∥AC∴∠PO2B＝∠ACB同理∠PO1A＝∠ACB∴∠PO2B＝∠PO1A∵∠AO1E＝∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E＝∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E＝∠FO2P、∴△EO1P≌△PO2F；（

8、3）延長(zhǎng)AC交⊙O2于點(diǎn)D，連接BD．∵BC是⊙O2