圓中的動點問題

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1、圓中的動態(tài)問題【方法點撥】圓中的動態(tài)問題實際是圓的分類討論問題，做這種題型重要的是如何將動點轉化為固定的點，從而將題型變?yōu)榉诸愑懻摗镜湫屠}】題型一：圓中的折疊問題例題一（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度；②如圖2，當折疊后的經過圓心為O時，求的長度；③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O

2、到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2。②當經過圓O時，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′?！摺鱋O′A，△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°?！嗟拈L度。③如圖3所示，連接OA，OB，∵OA=OB

3、=AB=2，∴△AOB為等邊三角形。過點O作OE⊥AB于點E，∴OE=OA?sin60°=。（2）①如圖4，當折疊后的與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交AB于點H、交于點E，交CD于點G、交于點F，即點E、H、P、O、G、F在直徑EF上?！逜B∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。根據垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。又∵EF=4，∴點O到AB．CD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。②如圖5，當AB與CD不平行時，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下：設O

4、′，O″為和所在圓的圓心，∵點O′與點O關于AB對稱，點O″于點O關于CD對稱，∴點M為的OO′中點，點N為OO″的中點?！哒郫B后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點P?！哒郫B后的與所在圓與⊙O是等圓，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形。【考點】翻折變換（折疊問題）相切兩圓的性質，等邊三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計算，解直角三角形，三角形中位線定理。【分析】（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度

5、。②如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據弧長公式計算即可。③如圖3，連接O′A．O′B，過點O′作O′E⊥AB于點E，可得△AO′B為等邊三角形，根據三角函數的知識可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離。（2）①如圖4，與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交于于點E，交于點F，根據垂徑定理及折疊，可求點O到AB．CD的距離之和。②由三角形中位線定理，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。變

6、式一如圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦BC折疊后，劣弧BC與AB交于點D，得到．ODCAB（1）若＝，求證：必經過圓心O；（2）若AB＝8，＝2，求BC的長．變式二如圖，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．（1）求∠BAC的度數；（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H；求證：四邊形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的長．題型二：圓中的旋轉問題例題二(2011湖南常德,25.10分)已知△AB

7、C，分別以AC和BC為直徑作半圓，P是AB的中點。（1）如圖8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使，則有結論①.②四邊形是菱形。請給出結論②的證明；（2）如圖9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明；（3）如圖10，若PC是⊙的切線，求證：（1）∵BC是⊙O2直徑，則O2是BC的中點又P是AB的中點．，∴PO2是△ABC的中位線∴PO2＝AC又AC是⊙O1直徑∴PO2＝O1C＝AC同理PO1＝O2C＝BC∵AC＝BC

8、∴PO2＝O1C＝PO1＝O2C∴四邊形是菱形（2）結論①△PO1E≌△PO2F成立，結論②不成立證明：在（1）中已證PO2＝AC，又O1E＝AC∴PO2＝O1E同理可得PO1＝O2F∵PO2是△ABC的中位線∴PO2∥AC∴∠PO2B＝∠ACB同理∠PO1A＝∠ACB∴∠PO2B＝∠PO1A∵∠AO1E＝∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E＝∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E＝∠FO2P、∴△EO1P≌△PO2F；（3）延長AC交⊙O2于點D，連接BD．∵BC是⊙O2