函數(shù)最值與幾種求法

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1、函數(shù)最值的幾種求法新課程標準中,高中數(shù)學知識更加豐富,層次性更強,和高等教育的結合更加緊密.要想較好的完成新課標的教學任務,必須從整體上把握課程標準,運用主線知識將高中數(shù)學知識穿成串,連成片,織成網(wǎng),才有利于學生更好的掌握,而函數(shù)的最值問題在整個高中教材中顯得非常重要,為了能系統(tǒng)的學好這方面的知識,本文總結歸納出八種求函數(shù)最值的常見方法.一由定義域直接求函數(shù)的最值一次函數(shù)的最大值與最小值常與它的定義域與值域有關系,即若y是x的函數(shù),則由x的取值范圍,并且根據(jù)一次函數(shù)的單調性,就能得到y(tǒng)的最大(小)值.例1變量,,均不小于0,并滿足及,求函數(shù)的最大值與最小值.解由及得,及.又由,,均

2、不小于0,推出.再將與代入得,,它是單調遞增函數(shù),而.所以,當時,有最小值;當時,有最大值.二用配方法求函數(shù)的最值[1]對于二次函數(shù)可以用配方法討論它的最值情況,即二次函數(shù).當時,有最小值,即當時,;當時,有最大值,即當時,.資料例2設.求和.解由得,.又因,所以當時,有最小值;當時,有最大值.例3設在區(qū)間上最小值為,求的最大值.解對關于配方得,.由已知得,當時,;當時,;當時,.因此,當時,的最大值為;當時,,且的最大值為;當時,的最大值為.三用判別式法（也稱△法）求最值判別式法就是利用二次方程有實數(shù)根的充要條件來求出函數(shù)的最值.除了二次函數(shù),對于一些常見的含有根號的無理函數(shù),也

3、可以利用平方法去掉根號后再根據(jù)二次函數(shù)的△法來求最值,或如果一個問題中,諸量之間的關系最后可化為以某一變量為元的二次方程的形式,便可運用判別式來求最,但要注意函數(shù)的定義域對函數(shù)的制約作用.例4[2]求函數(shù)的最值,以及函數(shù)取最值時的取值.解顯然.等式兩邊平方有,移項再平方整理得,資料又由,得,又因為并且得,所以.于是當時,;當時,四換元法就是通過換元把一個復雜的函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù).這種題的特征是函數(shù)的解析式中含有根式.當根式為一次式時,用代數(shù)換元（直接換元）;當根式是二次式時,用三角換元.例5用換元法求函數(shù)的最大值（無最小值）.解令,.所以.于是當,即時,.例6用三角換元法求函數(shù)的最值

4、.解令,則.所以,原函數(shù)變?yōu)?又因為,故,所以,當,即,時,取得最小值;當,,時,取得最大值.五利用不等式求函數(shù)的最值基本不等式:是求函數(shù)的最值問題的重要工具.但要注意取得最值的條件“一正,二定,三相等”[3].并合理的進行拆分和配湊,資料靈活變形使得問題簡捷從而獲解.例7求函數(shù)的最大值.解,而(注意,)當且僅當,即時,有最小值2.所以,當時,原函數(shù)有最大值.六利用導數(shù)求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值利用導數(shù)研究函數(shù)的性質尤其是函數(shù)的最值問題是強有力的手段.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出的所有極值點(駐點和導數(shù)不存在的點);(2)計算并比較f(x)在所有極值點及兩

5、個端點處的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值[4].例8求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.解對原函數(shù)關于求導數(shù)可得,.令,(舍去).再計算端點和導數(shù)為0點（駐點）處的函數(shù)值得,,,,.所以,當時,原函數(shù)有最小值,當時,原函數(shù)有最大值.七數(shù)形結合法求函數(shù)的最值當要求的解析式明顯具備某種幾何意義時,如兩點間的距離公式,直線斜率,直線在坐標軸上的截距等等.可以利用數(shù)形結合來求它的最值.例9[5]求函數(shù)的最大值和最小值.解因為,現(xiàn)令.則易知表示一定點A（2,資料0）與單位圓上的動點連線的斜率的大小.如（圖1）.對于L1有:,對于L2有:,所以,當時,;當時,.（圖1）（圖2）例10例4解法二

6、.解令,,則原函數(shù)可化為.此時原問題轉化為曲線與直線有公共點時,在軸上截距的最值.如(圖2).顯然可得,當直線過（,0）點,即時,在軸上的截距取得最小值;當直線與曲線相切,即(因為曲線上任一點切線斜率為,要使直線與曲線相切則,即,所以由得,.于是,)時,在軸上的截距取得最大值.八構造向量求函數(shù)最值向量具有代數(shù)和幾何的雙重性.用向量法解決代數(shù)問題的關鍵是善于觀察問題的結構,挖掘代數(shù)結構的向量模型,構造合適的向量,把原有問題轉化為向量問題求解,它是一種重要的數(shù)學思維方法.例11在上,求函數(shù)的最值.資料解令向量,,則

7、,.令向量與的夾角為,再令,,則.如(圖3),向量的終點落在以原點為心

8、,為半徑的圓周上,因為的幅角為.故兩向量的夾角,所以.從而,,其中,,故.(圖3)所以,當時,即,其解為或（取正值,因為）,即當時,;當時,即（即向量與共線）,其解為(取正值,因為),亦即當時,.總結:通過以上幾種函數(shù)最值求法的總結歸納,可以對一些有關的題目進行解答,尤其是一些綜合性強的題目,可以達到事半功倍的作用.函數(shù)是中學數(shù)學的主要內容.幾乎可以用函數(shù)為綱,把中學數(shù)學各方面內容有機結合起來,許多數(shù)學綜合題,可以轉化為函數(shù)的問題進行討論.函數(shù)是高考重點考查對象,而函