讓學(xué)生在探究中感受數(shù)學(xué)王國(guó)的魅力

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1、讓學(xué)生在探究中感受數(shù)學(xué)王國(guó)的魅力馮麗玲山丙省潞城市第一中學(xué)047500一、案例背景隨著高中新課改的不斷深入，探究性學(xué)習(xí)越來越成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中不可缺少的部分，我們?cè)絹碓叫枰谡n堂上激發(fā)學(xué)生探宄的欲望，即以問題為紐帶進(jìn)行探究式教學(xué)，使學(xué)生把原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和新學(xué)的內(nèi)容能有機(jī)地結(jié)合起來，從而把學(xué)生引入“提出問題一一探宄問題一一發(fā)現(xiàn)問題一一解決問題”的學(xué)習(xí)過程中，以此來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力、積極主動(dòng)的交流創(chuàng)新能力和善于合作的團(tuán)隊(duì)精神，并及時(shí)地給予學(xué)生適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，從而讓探宄性學(xué)習(xí)真正走入我們的高中數(shù)學(xué)課堂。二、教學(xué)片斷探究：右圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家

2、趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，配上顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表了中國(guó)人民的熱情好客。師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，看能否在此圖中找到一些相等關(guān)系和不等關(guān)系？同學(xué)們對(duì)這個(gè)圖標(biāo)（風(fēng)車型）很感興趣，馬上積極主動(dòng)地思考起來。教室里非常寂靜，幾分鐘后，有同學(xué)開始舉手回答。學(xué)生1:我找到了四組相等的線段：AB=BC=CD=DA,AE=BF=CG=DH,AH=BE=CF=DG,EF=FG=GH=HE。學(xué)生2:還有三角形的全等關(guān)系：△aebsabfcsacgdsAdha。我邊點(diǎn)頭邊示意他們坐下。師：以上兩位同學(xué)說得很好，他們分別從不同角度找到了圖中的相等關(guān)系，還有別的同學(xué)有新發(fā)現(xiàn)嗎？我們可以分小組展開討論。教室里的氣氛開

3、始活躍起來，大家指手劃腳地討論起來。幾分鐘后，有小組舉手要發(fā)言，其他人的0光一下子聚集了起來。學(xué)生3:我們組討論后還得到三角形面積相等關(guān)系：SAAEB=SABFC=S△CGD=SADHAo教室里其他人的眼晴一下子亮了起來，都向這個(gè)小組投來贊許的S光。師：這個(gè)小組討論的結(jié)果非常好，所以我們?cè)谒伎紗栴}的冋吋要充分利用自己之前所學(xué)過的知識(shí)來展開思考。接下來請(qǐng)大家繼續(xù)思考下一個(gè)問題：如在保持以上幾種相等關(guān)系不變的前提下，圖中三角形的大小和內(nèi)部正方形的大小可以變動(dòng)嗎？如果可以，請(qǐng)大家動(dòng)手在圖中做出變動(dòng)后的情況。教室里一下子安靜下來，每位同學(xué)都拿起手中的三角板和直尺動(dòng)起手來,有些同學(xué)還把書的方位扭轉(zhuǎn)了來

4、觀察。做完的同學(xué)紛紛舉手示意自己己經(jīng)完成。我在巡視中觀察到大家的作圖結(jié)果各有不同，并選取了三位具奮代表性的結(jié)果讓大家在投影儀下觀察。師：請(qǐng)做完的同學(xué)相互交流一下，看你們的作法有何異同，并仔細(xì)觀察這三種作法，你有什么發(fā)現(xiàn)？教室里的氣氛一下子又活躍起來，大家交互看對(duì)方的作法，并熱烈地開始爭(zhēng)論起來。學(xué)生4:里面的正方形大小不一樣，II越來越小。我點(diǎn)了點(diǎn)頭，表示贊許，示意他坐下。這吋，他的同桌站了起來。學(xué)生5:AE的長(zhǎng)度在變，ii隨著AE越來越短，4個(gè)全等的三角形越來越大，內(nèi)部的小正方形越來越小。我聽了這兩位同學(xué)的描述，非常欣慰，他們己經(jīng)快找到問題的實(shí)質(zhì)了。師：好，非常好。請(qǐng)大家再思考一下，AE最長(zhǎng)

5、是在什么位置？最短呢？如果我們把AABE的兩條直角邊分別設(shè)為AE=a、BE=b,則AB=a2+b2，你又會(huì)得到什么結(jié)論呢？（教室里的氣氛又熱烈起來）大家爭(zhēng)著一起冋答：“E點(diǎn)在B點(diǎn)處時(shí)AE最長(zhǎng)，在AC的中點(diǎn)處時(shí)AE最短?！边@時(shí)有一位同學(xué)站起來。學(xué)生6:無論AE怎么變都是在大正方形的內(nèi)部取值，所以S正〉4SAABE恒成立。因此，a2+b2>4×()aba2+b2〉2ab。學(xué)生7:還有，當(dāng)E在AC中點(diǎn)時(shí)，a=b,此吋，a2+b2≥2ab。學(xué)生8:所以最后的結(jié)論就是S正≥4SAABEa2+b2≥2ab。大家的情緒一吋高漲起來，都在熱切地期待著我的點(diǎn)評(píng)。師：經(jīng)過大家共同的

6、討論，加上最后這三位同學(xué)的回答，我們基本上把剛才的問題冋答清楚了，非常好，我為你們共同的努力而高興。接下來請(qǐng)思考這個(gè)結(jié)論，我們還可以通過什么方法得到？學(xué)生9:利用我們初中學(xué)過的完全平方式(a-b)2=a2+b2-2ab≥0，可得a2+b2≥2ab，且當(dāng)a=b吋，a2+b2=2ab。師：看來同學(xué)們現(xiàn)在基本上掌握了思考問題的方向，那么接下來我們來探究基本不等式ab≤(a+b)/2的證明過程。請(qǐng)同學(xué)們充分發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，看可以從幾個(gè)方面得到證明？教室里又安靜了下來，只聽見紙上筆尖的沙沙聲。隨后大家又開始相互交流結(jié)果，頓時(shí)氣氛又熱烈起來。學(xué)生2:老師，可以利用剛得到的公式a2+b2

7、≥2ab進(jìn)行換元得到。我們令a2=x，b2=ya=x，b=y，即可得x+y≥2xy。再令x=a，y=b，即可得ab≤(a+b)/2O學(xué)生5:還應(yīng)注意換元后的字母取值范圍，x≥O，y≥O,所以a+b≥2ab的條件是a≥O,b≥O。學(xué)生10:還有取等號(hào)的條件，a=b吋，a+b=abo師：大家說得都非常好，非常正確。那么除此之外還有別的思路嗎？請(qǐng)大家結(jié)合課本P98的探