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1、仿射變換和保距變換胡努春浙江師范大學數(shù)學系http://course.zjnu.cn/hnc參考書尤承業(yè)《解析幾何》（北大）陳志杰《高等代數(shù)與解析幾何》（第二版）（華師大）全等與相似全等相似透視圖法（建筑、繪畫）張順燕《數(shù)學的美與理》中心投影，平行投影張景中：《數(shù)學家的眼光》，《數(shù)學與哲學》歐氏幾何,仿射幾何，射影幾何平移，旋轉(zhuǎn)鏡面反射（全等）保持共線性、平行性和簡比，但長度、角度改變保持共線性和交比，但平行性改變平行投影中心投影保持長度（距離），角度位置，只是位置發(fā)生變化（中心在無窮遠點）知識要點（5.1-
2、-5.4）（綜合法，解析法）平面的仿射（保距）變換仿射（保距）變換基本定理仿射（保距）變換的坐標表示仿射（度量）性質(zhì)仿射（度量）分類射影變換???????映射與變換（P:175）定義：設(shè)X與Y是兩個集合,對X中任一元素x,按某一法則在Y中有唯一的元素y與之對應(yīng),則稱此法則(即對應(yīng)關(guān)系)為X到Y(jié)的一個映射。函數(shù)，泛函，算子，變換，像，原像，復(fù)合映射，單射，滿射，一一映射（可逆映射），一一變換（可逆變換），恒等變換平面上的變換群（P:177）平移（P:176例5.1.1），旋轉(zhuǎn)（P:176例5.1.2），反射（P
3、:177例5.1.3）伸縮變換（P:177例5.1.4），位似（相似）變換（P:184例5.3.1），錯切變換（P:185例5.3.2）定義：一個集合G，如果它的元素都是平面π上的可逆變換且滿足：（1）G中任何元素的逆也在G中，（2）G中任何兩個元素的復(fù)合也在G中，則稱G是平面π上的一個變換群平移全體是變換群，但旋轉(zhuǎn)全體不是變換群（中心不同）保距變換（點變換）（P:178）定義：平面π上的一個變換f如果滿足：對平面π上的任意兩點A,B,總有：d(f(A),f(B))=d(A,B)則稱f是平面π上的一個保距變換
4、。平移，旋轉(zhuǎn)（剛體運動），反射都是保距離變換（反之保距變換即為平移，旋轉(zhuǎn)，反射的組合P:182Th5.2.3）保距變換是可逆變換，且其逆變換也是保距變換（P:179Prop5.2.2）（保距變換群）保距變換把直線變?yōu)橹本€，并保持距離與角度（P:179Prop5.2.1）（全等）注：彎曲空間的保距映射保持曲面的高斯曲率（絕妙定理，在微分幾何和廣義相對論中居于中心地位，內(nèi)蘊微分幾何）仿射變換（點變換）（P:184）定義：平面π上的一個可逆變換，如果把共線點組變?yōu)楣簿€點組，則稱為平面π的一個仿射變換。(幾何角度)（
5、與書本定義等價（代數(shù)角度））伸縮變換（P:184例5.3.1），位似變換（P:184例5.3.1），錯切變換（P:185例5.3.2）仿射變換可分解為保距變換和伸縮變換的組合（P:192定理5.3.2）仿射變換把直線變?yōu)橹本€，并保持直線的平行性（P:185Prop5.3.1）（仿射變換群）保距變換是仿射變換仿射變換（幾何）決定的向量變換（代數(shù)）（P:180，P:187）定義：設(shè)f是平面π上的仿射變換，則對于任何平行與平面π的向量，規(guī)定這里A,B是平面π上的點，使得，這樣得到一個變換稱為由f決定的仿射向量變換，
6、仍記作f。仿射變換決定的向量變換保持向量的線性關(guān)系（P:187Prop5.3.3）（非退化（滿秩）線性變換）保距變換決定的向量變換不僅保持向量的線性關(guān)系，而且保持向量的內(nèi)積（距離，角度，面積，垂直）（P:180Prop5.2.3）（正交變換）仿射變換基本定理（P:189Th5.3.1）（1）說的是唯一性，（2）說的是存在性，平面上不共線的三對對應(yīng)點可唯一確定一個仿射變換（P:190）保距變換基本定理（P:181Th5.2.1）（1）說的是唯一性，（2）說的是存在性仿射變換的坐標變換公式（P:190）保距變換的
7、坐標變換公式（P:181Th5.2.2）坐標變換和保距（仿射）變換點的坐標變換公式是同一點在不同坐標系下的坐標（針對的是圖形不變，而坐標系在變）仿射變換的點變換公式是用點的坐標求像點的坐標（針對的是圖形在變，而坐標系不變）后者是通過前者得到的變換矩陣的性質(zhì)變換的復(fù)合（矩陣的乘法）一變換在不同坐標系下的變換矩陣（矩陣的相似）仿射變換的變積系數(shù)為
8、detA
9、(P:188Prop5.3.4)，保距變換保持圖形的面積不變（即
10、detA
11、=1）第一類仿射變換（detA>0,定向相同）第二類仿射變換（detA<0,定向相
12、反）圖形的仿射分類和仿射性質(zhì)仿射性質(zhì)(不變量)（共線，平行，簡單比等）度量性質(zhì)(不變量)（距離，角度，面積，垂直等）仿射幾何學（研究仿射性質(zhì)(不變量)的幾何學）歐氏幾何學（研究度量性質(zhì)(不變量)的幾何學）仿射等價，度量等價（等價關(guān)系）（P:194）仿射(度量)分類(二次曲線P:195Th5.4.1，P:196Th5.4.2,二次曲面P:201Th5.5.6，P:201Th5.5.7)邊長為1的等邊三
