地圖投影與高斯投影

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1、第八章地圖投影與高斯投影[本章提要]8.1高斯投影概述8.2高斯投影坐標(biāo)正反算公式8.3平面子午線收斂角8.4方向改化公式8.5距離改化公式8.6坐標(biāo)換帶計(jì)算[習(xí)題]本章提要本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過(guò)程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長(zhǎng)度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問(wèn)題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。[知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求]1．高斯投影的基本概念；2．正形投影的一般條件；3．高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換——高斯投影的正算與反算4．橢球面上觀測(cè)成果（水平方向、距離）歸化到高斯平面上的計(jì)算；5．高斯投

2、影的鄰帶換算；[難點(diǎn)]在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用。返回本章首頁(yè)8.1高斯投影概述我們已經(jīng)知道，橢球面上的大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系，它對(duì)于研究地球形狀大小、大地問(wèn)題計(jì)算、編制地圖等都很有用?？墒橇硪环矫妫跈E球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算仍然相當(dāng)復(fù)雜，人們總是期望將橢球面上的測(cè)量元素歸算到平面上，以便在平面上進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，地圖也是平面的，為了控制地形測(cè)圖所建立的控制點(diǎn)，也必須具有平面坐標(biāo)。因此，為了簡(jiǎn)化測(cè)量計(jì)算和控制地形測(cè)圖，就必須利用投影的方法，來(lái)解決橢球面至平面的轉(zhuǎn)化問(wèn)題。這種歸算要運(yùn)用地圖投影(簡(jiǎn)

3、稱投影)理論才能實(shí)現(xiàn)。地圖投影的方法很多，我國(guó)現(xiàn)在采用的是高斯——克呂格投影(簡(jiǎn)稱高斯投影)。1.地球投影與變形所謂地球投影，簡(jiǎn)略說(shuō)來(lái)就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門(mén)學(xué)科叫地圖投影學(xué)。橢球面是一個(gè)凸起的曲面，如果將這個(gè)曲面上的觀測(cè)元素，例如一段距離、一個(gè)角度、一個(gè)圖形投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形有差異，我們稱其為投影變形。講一個(gè)簡(jiǎn)單例子：把一個(gè)平面卷成圓柱狀、橫套在一個(gè)空心的玻璃圓球的外面，使它與圓球上的一個(gè)大圓L0相切，設(shè)想在圓球中心O處有一個(gè)光源，它發(fā)出的光線透過(guò)球面點(diǎn)A點(diǎn)后在圓筒面上投影成a點(diǎn)，球面上的三角形A

4、BC和BCD，同樣也被投影成相應(yīng)的三角形abc和bcd,然后把圓柱面沿一條與中軸線HH’相平行的直線剪開(kāi)展平，就可以得到投影到圓柱面的這兩個(gè)三角形的平面圖。我們把被投影的球面稱作原面，原面上的元素投影后所在的圓柱面稱作投影面。在投影中除相切的那個(gè)大圓沒(méi)有變形外，投影面上的其他邊長(zhǎng)都大于原面的邊長(zhǎng)(例如ab>AB，……cd>CD)，這種變形稱作長(zhǎng)度變形。投影面上的角度也不等于原面上對(duì)應(yīng)的角度(例如∠a≠∠A，……∠d≠∠D)，稱其為角度變形。投影面上的三角形面積，不等于原面上對(duì)應(yīng)的三角形面積(例如,△abc≠△ABC)，稱其為面積變形。地圖投影必然產(chǎn)生變形。投影變形一般分為角度變形、長(zhǎng)度變

5、形和面積變形三種。在地圖投影時(shí)，我們可根據(jù)需要使某種變形為零，也可使其減小到某一適當(dāng)程度。因此，地圖投影中產(chǎn)生了所謂的等角投影（投影前后角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形）、等距投影（投影前后長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形）、等積投影（投影前后面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形）等。在地圖投影中原面是橢球面，投影面是平面。但有一些特殊要求比上述情況復(fù)雜，兩者之間不能用直觀的幾何關(guān)系表示，要用一定的數(shù)學(xué)關(guān)系表示。例如在原面上的一點(diǎn)A(圖)，它的大地坐標(biāo)是B、L，用橫圓柱投影，假定在投影面上A點(diǎn)的投影點(diǎn)是a，其平面坐標(biāo)為x、y。則兩者的數(shù)學(xué)關(guān)系一般可表示為：式中L，B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而x，y是該

6、點(diǎn)投影后的平面(投影面)直角坐標(biāo)。式中表示了橢球面上一點(diǎn)同投影面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的解析關(guān)系，也叫做坐標(biāo)投影公式。投影問(wèn)題也就是建立橢球面元素與投影面相對(duì)應(yīng)元素之間的解析關(guān)系式。投影的方法很多，每種方法的本質(zhì)特征都是由坐標(biāo)投影公式F的具體形式體現(xiàn)的。2大地測(cè)量對(duì)地圖投影的要求1.應(yīng)采用等角投影（又稱正形投影）。對(duì)于大地測(cè)量來(lái)說(shuō)，等角投影尤為重要，因?yàn)槿菧y(cè)量大量工作是測(cè)量水平方向(或角度)。角度如能不變形，就可①保證了在三角測(cè)量中大量的角度元素在投影前后保持不變，免除了大量的投影工作；②所測(cè)制的地圖在有限的范圍內(nèi)只有等角投影才能使地形圖與實(shí)地圖形保持相似，在測(cè)圖時(shí)可以直接縮繪,用圖時(shí)可以直

7、接量取。如圖多邊形，相應(yīng)角度相等，但長(zhǎng)度有變化，投影面上的邊長(zhǎng)與原面上的相應(yīng)長(zhǎng)度之比，稱為長(zhǎng)度比。圖中2.要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。為此地圖投影應(yīng)該限制在不大的投影范圍內(nèi)，從而控制變形并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。3.要求投影能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式把各帶聯(lián)成整體。保證每個(gè)帶進(jìn)行單獨(dú)投影，并組成本身的直角坐標(biāo)系統(tǒng)，然后再將這些帶用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法聯(lián)接在一起，從而組成統(tǒng)一的系