地圖投影與高斯投影(2)

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1、第七章地圖投影與高斯投影[本章提要]本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過(guò)程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長(zhǎng)度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問(wèn)題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。討論在工程應(yīng)用中，工程測(cè)量投影面與投影帶選擇。§7.1高斯投影概述1投影與變形地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專(zhuān)門(mén)學(xué)科叫地圖投影學(xué)?？捎孟旅鎯蓚€(gè)方程式（坐標(biāo)投影公式）表示：式中是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而是該點(diǎn)投影

2、后的平面直角坐標(biāo)。投影變形：橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面。將這個(gè)曲面上的元素（（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱(chēng)為投影變形。投影變形的形式：角度變形、長(zhǎng)度變形和面積變形。地圖投影的方式：（1）等角投影——投影前后的角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形；（2）等距投影——投影前后的長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形；（3）等積投影——投影前后的面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形。2控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求（1）應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱(chēng)為正形投影）采用正形投影時(shí)，在三角測(cè)量中大量的角度觀測(cè)元素在投

3、影前后保持不變；在測(cè)制的地圖時(shí)，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。（2）在采用的正形投影中，要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能夠應(yīng)用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由于這些變形而帶來(lái)的改正數(shù)。（3）能按分帶投影3高斯投影的基本概念（1）基本概念：如圖1所示，假想有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱(chēng)為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面，如圖2所示，此投影為高斯投影。

4、高斯投影是正形投影的一種。14圖1圖2（2）分帶投影l(fā)高斯投影帶：自子午線起每隔經(jīng)差自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,…。我國(guó)帶中央子午線的經(jīng)度，由起每隔而至,共計(jì)11帶（13～23帶），帶號(hào)用表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，它們的關(guān)系是,如圖所示。l高斯投影帶：它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合，一部分同帶的分界子午線重合，如用表示帶的帶號(hào)，表示帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系圖8-4所示。我國(guó)帶共計(jì)22帶（24～45帶）。（3）高斯平面直角坐標(biāo)系在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)14作

5、為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸。在我國(guó)坐標(biāo)都是正的，坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500OOOm。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱(chēng)為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，有一點(diǎn)=19123456.789m，該點(diǎn)位在帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500000m,最后得=-376543.211m。（4）高斯平面投影的特點(diǎn)①中央子午線無(wú)變形；②無(wú)角度變形，圖形保持相似；③離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。5橢球面三角系化算到高斯投影

6、面將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：（1）將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)反算。（2）通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。（3）通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。（4）通過(guò)計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長(zhǎng)度歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)度。（5）當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。14§7.2正形投影的一般條件高斯投影首先必須滿

7、足正形投影的一般條件。圖1為橢球面，圖2為它在平面上的投影。在橢球面上有無(wú)限接近的兩點(diǎn)和，投影后為和，其坐標(biāo)均已注在圖上，為大地線的微分弧長(zhǎng)，其方位角為。在投影面上，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，的投影弧長(zhǎng)為。圖2圖37橢球面到平面的正形投影一般公式——稱(chēng)柯西-黎曼條件：平面正形投影到橢球面上的一般條件：§7.3高斯平面直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系1高斯投影坐標(biāo)正算公式（1）高斯投影正算：已知橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，求該點(diǎn)在高斯投影平面上的直角坐標(biāo)，即的坐標(biāo)變換。14（2）投影變換必須滿足的條件l中央子午線投影后為直線；l中央子午線投影

8、后長(zhǎng)度不變；l投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過(guò)程在橢球面上有對(duì)稱(chēng)于中央子午線的兩點(diǎn)和,它們的大地坐標(biāo)分別為（）及（），式中為橢球面上點(diǎn)的經(jīng)度與中央子午線的經(jīng)度差：,點(diǎn)在中央子午線之東,為正，在西則為負(fù)，則投影后的平面坐標(biāo)一定為和。（4）計(jì)算公式當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.OOlm