第7章 地圖投影與高斯投影

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1、第七章地圖投影與高斯投影[本章提要]本章介紹從橢球面上大地坐標系到平面上直角坐標系的正形投影過程。研究如何將大地坐標、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標坐標換算。討論在工程應用中，工程測量投影面與投影帶選擇。§7.1高斯投影概述1投影與變形地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標、方向和長度）按一定的數(shù)學法則投影到平面上。研究這個問題的專門學科叫地圖投影學。可用下面兩個方程式（坐標投影公式）表示：式中是橢球面上某點的大地坐標，而是該點投影后

2、的平面直角坐標。投影變形：橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面。將這個曲面上的元素（（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。投影變形的形式：角度變形、長度變形和面積變形。地圖投影的方式：（1）等角投影——投影前后的角度相等，但長度和面積有變形；（2）等距投影——投影前后的長度相等，但角度和面積有變形；（3）等積投影——投影前后的面積相等，但角度和長度有變形。2控制測量對地圖投影的要求（1）應當采用等角投影（又稱為正形投影）采用正形投影時，在三角測量中大量的角度觀測元素在投影前

3、后保持不變；在測制的地圖時，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。（2）在采用的正形投影中，要求長度和面積變形不大，并能夠應用簡單公式計算由于這些變形而帶來的改正數(shù)。（3）能按分帶投影3高斯投影的基本概念（1）基本概念：如圖1所示，假想有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面，如圖2所示，此投影為高斯投影。高斯投

4、影是正形投影的一種。14圖1圖2（2）分帶投影l(fā)高斯投影帶：自子午線起每隔經(jīng)差自西向東分帶，依次編號1,2,3,…。我國帶中央子午線的經(jīng)度，由起每隔而至,共計11帶（13～23帶），帶號用表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，它們的關(guān)系是,如圖所示。l高斯投影帶：它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合，一部分同帶的分界子午線重合，如用表示帶的帶號，表示帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系圖8-4所示。我國帶共計22帶（24～45帶）。（3）高斯平面直角坐標系在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點14作為坐標原

5、點，以中央子午線的投影為縱坐標軸，以赤道的投影為橫坐標軸。在我國坐標都是正的，坐標的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負的橫坐標，可在橫坐標上加上500OOOm。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統(tǒng)一坐標。例如，有一點=19123456.789m，該點位在帶內(nèi)，其相對于中央子午線而言的橫坐標則是：首先去掉帶號，再減去500000m,最后得=-376543.211m。（4）高斯平面投影的特點①中央子午線無變形；②無角度變形，圖形保持相似；③離中央子午線越遠，變形越大。5橢球面三角系化算到高斯投影面將橢球面

6、三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：（1）將起始點的大地坐標歸算為高斯平面直角坐標；為了檢核還應進行反算，亦即根據(jù)反算。（2）通過計算該點的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應邊的坐標方位角。（3）通過計算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內(nèi)角。（4）通過計算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。（5）當控制網(wǎng)跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算。14§7.2正形投影的一般條件高斯投影首先必須滿足正形投影的

7、一般條件。圖1為橢球面，圖2為它在平面上的投影。在橢球面上有無限接近的兩點和，投影后為和，其坐標均已注在圖上，為大地線的微分弧長，其方位角為。在投影面上，建立如圖2所示的坐標系，的投影弧長為。圖2圖37橢球面到平面的正形投影一般公式——稱柯西-黎曼條件：平面正形投影到橢球面上的一般條件：§7.3高斯平面直角坐標系與大地坐標系1高斯投影坐標正算公式（1）高斯投影正算：已知橢球面上某點的大地坐標，求該點在高斯投影平面上的直角坐標，即的坐標變換。14（2）投影變換必須滿足的條件l中央子午線投影后為直線；l中央子午線投影后長度不變；l

8、投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過程在橢球面上有對稱于中央子午線的兩點和,它們的大地坐標分別為（）及（），式中為橢球面上點的經(jīng)度與中央子午線的經(jīng)度差：,點在中央子午線之東,為正，在西則為負，則投影后的平面坐標一定為和。（4）計算公式當要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.OOlm