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1、第六節(jié)空間直線及其方程在空間直角坐標(biāo)系中：一個(gè)三元一次方程表示一個(gè)平面；空間直線一個(gè)三元二次方程表示一個(gè)曲面；兩個(gè)曲面的交線表示一空間曲線；兩個(gè)平面的交線表示（）。第八節(jié)空間直線及其方程直線的點(diǎn)向式方程直線的一般方程直線的參數(shù)方程兩直線的夾角直線與平面的夾角例題、練習(xí)與思考一.空間直線的一般方程實(shí)際上空間直線可以看作兩個(gè)平面的交線：直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)平面方程,直線外的點(diǎn)不可能同時(shí)在兩個(gè)平面上。LABCL空間直線一般方程表示式L例如:空間直線一般方程表示式通過空間直線L的平面有無數(shù)多個(gè)，從中任兩個(gè)方程聯(lián)立，均表示空間直線L。LL二.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程直線的對稱式方程（點(diǎn)向
2、式方程）sM(x,y,z)xzyO1.對稱式方程(點(diǎn)向式)方向向量:如果一個(gè)非零向量s平行于一條已知直線，這個(gè)向量s就叫做該直線的方向向量。直線上任一向量都與s平行.Ls對稱式方程的建立依據(jù)：過空間一點(diǎn)可以做且只可做一條直線與已知直線平行，故當(dāng)已知直線上一點(diǎn)M0與一個(gè)方向向量s，則直線位置完全可以確定下來。sM(x,y,z)對稱式方程對稱式方程的建立已知直線L上一點(diǎn)與一個(gè)方向向量s={m,n,p}，M(x,y,z)是直線上任一點(diǎn),則（1）向量與方向向量s={m,n,p}平行；（2）兩個(gè)向量坐標(biāo)對應(yīng)成比例；即有稱之為直線對稱式方程.方向數(shù)與方向余弦方向數(shù)：直線的任一方向向量的坐標(biāo)，即設(shè)直線的方向
3、向量s={m,n,p},則m,n,p為該直線的一組方向數(shù)。向量s的方向余弦叫作該直線的方向余弦。即三.直線的參數(shù)方程由直線的對稱式方程可以導(dǎo)出直線的參數(shù)方程。只須設(shè)則有這就是直線L的參數(shù)方程.這里t為參數(shù).例1求過點(diǎn)M0(4,-1,3)且平行于直線L1的直線方程.解設(shè)已知直線L1的方向向量s1={2,1,-5}所求直線L方向向量為s，因?yàn)閟平行s1可取s={2,1,-5};又因?yàn)橹本€L過點(diǎn)M0(4,-1,3)，故，所求直線方程L為：s1L1sM0例2求以下直線的對稱式方程解（1）求s,已知相交于直線的兩個(gè)平面法向量分別為n1={3,2,4},n2={2,1,-3},則有即s={-10,17,-
4、1}.(2)求點(diǎn)M0,令方程組中z=0,則由點(diǎn)的確定方法不唯一.也可以令y=1等等得M0=(-9,19,0).故所求直線方程L為：四.兩直線的夾角兩直線夾角的定義：兩直線方向向量之間的夾角（銳角）叫作兩直線的夾角.s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}L1L2φ設(shè)直線L1的方向向量s1={m1,n1,p1},設(shè)直線L2的方向向量s2={m2,n2,p2},則直線L1與直線L2的夾角的余弦公式為：兩直線的夾角的余弦公式兩個(gè)結(jié)論：1.若直線L1與直線L2平行，則有兩直線平行圖示π兩直線垂直圖示2.若直線L1與直線L2垂直，則有圖示例題已知直線解由所給方程知s1={1，-4，1},s2
5、={2，-2，-1}，代入夾角公式可得求兩直線的夾角.四.直線與平面的夾角定義直線與平面的夾角設(shè)直線L的方向向量s={m,n,p}設(shè)平面π的法線向量n={A,B,C}則定義s與n的夾角為直線L與平面π的夾角.記作φ.πAx+By+Cz+D=0n={A,B,C}πφθs={m,n,p}L直線與平面的夾角（圖示）這是平面π與直線L的交角這是直線L與其在平面π上投影的交角四.直線與平面的夾角夾角公式：已知直線L的方向向量為（m,n,p）平面π的法向量為（A，B，C），則有θφn={A,B,C}s={m,n,p兩個(gè)結(jié)論：1.若直線L與平面π平行，則n⊥s，于是n={A,B,C}πs={m,n,p}L/
6、/π圖示L：s={m,n,p}πAx+By+Cz+D=02.若直線L與平面π垂直，則則n∥s，于是n={A,B,C}πs={m,n,p}L：π：Ax+By+Cz+D=0平行練習(xí)思考討論確定下面直線與平面的位置關(guān)系：（1）.4x-2y-2z=3,與（2）.3x-2y+7z=8,與（3）.x+y+z=3,與直線在平面上垂直求直線與平面交點(diǎn)n={A,B,C}ππ：Ax+By+Cz+D=0L：s={m,n,p}M(x,y,z)圖示怎樣才能求出交點(diǎn)M？例題已知平面π2x+y+z-6=0及直線L解令直線方程求其交點(diǎn).得x=2+ty=3+tz=4+2t（1）代入平面π方程，得2（2+t）+(3+t)+(4+
7、2t)-6=0整理得5t=-5,即t=-1將t=-1代回方程組（1）有x=1,y=2,z=2.即點(diǎn)（1，2，2）為該直線與已知平面的交點(diǎn)解法2，將直線方程化為一般式與已知平面聯(lián)立解得.L五.綜合例題解（方法一）(1)過點(diǎn)P作平面垂直于直線L，則平面法向量n平行于直線方向向量s，即nPQsn={2,0,-1},P(0,-1,1),得平面方程2x-z+1=0.(2)求直線與平面的交點(diǎn)，解方程組y+2=
