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1、Ch12反常積分與含參量非的積分計劃課時：24時§1廣義積分一.無窮限廣義積分:1．概念和幾何意義：定義，.幾何意義:例1⑴討論積分,,的斂散性.⑵計算積分.例2討論以下積分的斂散性:⑴;⑵.例3討論積分的斂散性.2.無窮積分的性質(zhì):⑴在區(qū)間上可積,—Const,則函數(shù)在區(qū)間263上可積,且.⑵和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,且.⑶無窮積分收斂的Cauchy準則:(翻譯)Th積分收斂.⑷絕對收斂與條件收斂:定義概念.絕對收斂收斂,(證)但反之不確.絕對型積分與非絕對型積分.3.無窮積分判斂法:非負函數(shù)無窮積分判斂法:對非負函數(shù)
2、,有↗.非負函數(shù)無窮積分斂散性記法.⑴比較判斂法:設在區(qū)間上函數(shù)和非負且，又對任何>,和在區(qū)間上可積.則<,<；,.(證)例4判斷積分的斂散性.比較原則的極限形式:設在區(qū)間上函數(shù),.則ⅰ><<,與共斂散:263ⅱ>,<時,<；ⅲ>,時,.(證)⑵Cauchy判斂法:(以為比較對象,即取.以下>0)設對任何>,,且,<；若且,.Cauchy判斂法的極限形式:設是在任何有限區(qū)間上可積的正值函數(shù).且.則ⅰ><；ⅱ>.(證)例5討論以下無窮積分的斂散性:ⅰ>ⅱ>[1]P324E6Ex[1]P265—2661（1）（3）（5）2（3）
3、（5），5.⑶其他判斂法:Abel判斂法:若在區(qū)間上可積,單調(diào)有界,則積分收斂.263Dirichlet判斂法:設在區(qū)間上有界，在上單調(diào)，且當時，.則積分收斂.例6討論無窮積分與的斂散性.例7證明下列無窮積分收斂,且為條件收斂:,,.例8(乘積不可積的例)設,.由例6的結(jié)果,積分收斂.但積分卻發(fā)散.(參閱例6)Ex[1]P2667.二.瑕積分:先介紹函數(shù)的瑕點.1.瑕積分的定義:以點為瑕點給出定義.然后就點為瑕點、點為瑕點以及有多個瑕點的情況給出說明.例9判斷積分的斂散性.例10討論瑕積分的斂散性,并討論積分的斂散性.2.瑕
4、積分與無窮積分的關系:設函數(shù)連續(xù),為瑕點.有,把瑕積分化成了無窮積分;263設,有，把無窮積分化成了瑕積分.可見,瑕積分與無窮積分可以互化.因此,它們有平行的理論和結(jié)果.例11證明瑕積分當時收斂.證,由例6,該積分當時收斂.1.瑕積分判斂法:Th(比較原則).系1(Cauchy判別法)系2(Cauchy判別法的極限形式).例12判別下列瑕積分的斂散性:⑴(注意被積函數(shù)非正).⑵.例13討論非正常積分的斂散性.三.C—R積分與R積分的差異:1.R,在上;但在區(qū)間上可積,在區(qū)間上有界.例如函數(shù)2.R,
5、
6、R,但反之不確.R積分是
7、絕對型積分.
8、
9、在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,263但反之不確.C—R積分是非絕對型積分.3.,R,R;但和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.可見,在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.Ex[1]P2751（2）（4）2（2）（4）.§2含參廣義積分一.含參無窮積分:1.含參無窮積分:函數(shù)定義在上(可以是無窮區(qū)間).以為例介紹含參無窮積分表示的函數(shù).2.含參無窮積分的一致收斂性:逐點收斂(或稱點態(tài)收斂)的定義:,,使.引出一致收斂問題.定義(一致收斂性)設函數(shù)定義在上.若對263,使對成立,則稱含參無窮積分在(關于)一致收斂.Th21.5(C
10、auchy收斂準則)積分在上一致收斂,對成立.例1證明含參量非正常積分在上一致收斂,其中.但在區(qū)間內(nèi)非一致收斂.3.含參無窮積分與函數(shù)項級數(shù)的關系:Th21.6積分在上一致收斂,對任一數(shù)列,↗,函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.(證略)二.含參無窮積分一致收斂判別法:1.WeierstrassM判別法:設有函數(shù),使在上有.若積分,則積分在一致收斂.例2證明含參無窮積分在內(nèi)一致收斂.2.Dirichlet判別法和Abel判別法:三.含參無窮積分的解析性質(zhì):含參無窮積分的解析性質(zhì)實指由其所表達的函數(shù)的解析性質(zhì).2631.連續(xù)性:積分號下取
11、極限定理.Th21.7設函數(shù)在上連續(xù).若積分在上一致收斂,則函數(shù)在上連續(xù).(化為級數(shù)進行證明或直接證明)系在Th21.7的條件下,對,有2.可微性:積分號下求導定理.Th21.8設函數(shù)和在上連續(xù).若積分在上收斂,積分在一致收斂.則函數(shù)在上可微,且.3.可積性:積分換序定理.Th21.9設函數(shù)在上連續(xù).若積分在上一致收斂,則函數(shù)在上可積,且有.關于在上的積分換序問題.例3計算積分四.含參瑕積分簡介:Ex[1]P3052（3）910（3）.§3Euler積分263本節(jié)介紹用含參廣義積分表達的兩個特殊函數(shù),即和.它們統(tǒng)稱為Eule
12、r積分.在積分計算等方面,它們是很有用的兩個特殊函數(shù).一.Gamma函數(shù)——Euler第二型積分：1.Gamma函數(shù):考慮無窮限含參積分,當時,點還是該積分的瑕點.因此我們把該積分分為來討論其斂散性.:時為正常積分.時,.利用非負函數(shù)積的Cauchy判別法,注意到時積分收斂.(易見時,仍用
