廣義積分與含參量積分

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1、第十二章廣義積分與含參量積分一。廣義積分1.無窮積分與瑕積分定義：設(shè)為瑕點(diǎn)，。2。收斂充要條件。設(shè)為瑕點(diǎn)，3．無窮積分的性質(zhì)（1）若收斂，則。（2）若收斂，則收斂。（3）與有相同的斂散性。（4）若與收斂，則。14（5）,（已知其中兩項(xiàng)收斂）.（6）若收斂，且上嚴(yán)格增加，存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，則。瑕積分有類似的性質(zhì)。4．無窮積分與瑕積分可互化設(shè)為瑕點(diǎn)，。5．收斂判別法（1）若，則；。若，則；。常用來比較的廣義積分：14；。極限形式：，若，則收斂；若，則發(fā)散。設(shè)為的瑕點(diǎn)，，若，則收斂；若，則發(fā)散。（2）若，上有界

2、，則當(dāng)時，收斂。若在上有界，則當(dāng)時，收斂二．含參量積分（一）概念：1．定義14（1）含參變量的有限積分：（2）含參變量的無窮積分：。1．無界函數(shù)的廣義積分可以化為無窮限的廣義積分。2．含參量無窮積分可以化為函數(shù)級數(shù)：其中為單調(diào)增加趨于無窮的數(shù)列，。所以，含參量無窮積分的理論可平行于函數(shù)級數(shù)來建立。（二）含參量無窮積分一致收斂判別法1．利用定義判別：，則在上一致收斂。2．利用充要條件：（1）柯西準(zhǔn)則：在上一致收斂的充要條件是.(2)在上一致收斂任給單調(diào)遞增數(shù)列在上一致收斂。143．M-判別法：若有控制函數(shù)

3、滿足：收斂，則在上一致收斂。4．阿貝爾判別法：若（1）關(guān)于在一致收斂；（2）單調(diào)，并關(guān)于為一致有界；則關(guān)于在上一致收斂。5．狄立克萊判別法：若（1）對于和一致有界；（2）單調(diào)，并當(dāng)時關(guān)于上的一致趨于零；則關(guān)于在上一致收斂。6．證明不一致收斂的方法：（1）若，則在上不一致收斂。（2）若連續(xù)，又在上收斂，但在處發(fā)散，則在上不一致收斂。（見例4）14（三）含參量積分的分析性質(zhì)：性質(zhì)含參量定積分含參量無窮積分條件結(jié)論條件結(jié)論連續(xù)性關(guān)于在一致收斂?？晌⑿栽谏弦恢率諗?。在上可微，且可積性I（x）、J（y）分別在[a

4、，b]、[c，d]可積在上一致收斂。I（x）在[a，b]可積14性質(zhì)含參量無窮積分條件結(jié)論可積性關(guān)于y在任何閉區(qū)間[c，d]一致收斂；關(guān)于x在任何閉區(qū)間[a，b]一致收斂；與中有一個收斂。（四）利用含參量積分計(jì)算定積分。方法一：（1）把表成含參量積分；（2）驗(yàn)證條件，施行積分號下積分法。方法二：（1）找一個適當(dāng)?shù)暮瑓⒘糠e分：，使得，從而，；（2）驗(yàn)證條件，施行積分號下微分法14，（要關(guān)于x的原函數(shù)，易于求得）；（1）對求積分；（2）令取極限，或取，以確定常數(shù)，從而得出的表達(dá)式；（3）。上述積分號下積分法

5、與積分號下微分法就是交換兩種運(yùn)算的順序，其作用是使不易直接求出的積分，先經(jīng)過積分處理或微分處理之后，變得易于求出。三．例題1．設(shè)，求：。解：及都在上連續(xù)，且，又因?yàn)?，收斂，所以，一致收斂，從而?=（8。1）所以，，14當(dāng)，由（8。1）式，得==。1．設(shè)在內(nèi)成立不等式，若在上一致收斂，證明：在上一致收斂且絕對收斂。證明：由條件，從而有，。所以，在上一致收斂且絕對收斂。2．證明：若（存在），則。證明：先證在上一致收斂。方法一：用阿貝爾判別法因?yàn)椋?）收斂，即關(guān)于一致收斂；（2）且對固定的y，對x單調(diào)。所以

6、，在上一致收斂。方法二：關(guān)于在非負(fù)、單調(diào)減少，在14可積，由積分第二中值定理，對一切，，有因此，從收斂，可以推出在上一致收斂。因?yàn)槭諗?，在上一致收斂，所以，?dāng)時，，有時，。所以，。4．設(shè)在連續(xù),對上每一個,收斂,但積分在發(fā)散,證明:這積分在非一致收斂.證明:因?yàn)榘l(fā)散,所以，14.又因?yàn)樵谶B續(xù),所以,在一致連續(xù).對,有從而有，故所以，關(guān)于非一致收斂.5。證明：在上連續(xù)可微。（廈門大學(xué)2002年試卷）證明：,在連續(xù)；單調(diào)一致趨于零，由狄立克萊判別法知14在一致收斂，從而在連續(xù)可微，因此，在連續(xù)可微，由的任意

7、性，在連續(xù)可微。6．設(shè)在連續(xù)，證明：。（武漢大學(xué)2003年試卷）證明：因?yàn)樵谶B續(xù)，對任意的自然數(shù)，從而，在[0，1]有界，設(shè)。因?yàn)椋傻倪B續(xù)性，，所以，，從而有14。所以，。練習(xí)題1.證明，若函數(shù)在是正值單調(diào)減少的，且，則無窮積分與極限同時收斂，且。2.判別下列無窮積分的斂散性：（1）；（2）；（3）。3．證明，若函數(shù)在可導(dǎo)，且單調(diào)減少，，而積分收斂，則無窮積分收斂。144．判別廣義積分的絕對收斂與條件收斂。5．證明，若瑕積分收斂（0是瑕點(diǎn)），且函數(shù)在（0，1）上單調(diào)，則。6．已知，計(jì)算。7．計(jì)算無窮積

8、分。8．判別下列積分在指定區(qū)間上的一致收斂性：（1），在R上；（2），在上（）；（3），在上。9.證明，若在區(qū)域上連續(xù)，且非負(fù)，又函數(shù)在連續(xù)，則在上一致收10．證明，若收斂，則。14