2、E?？偞嬖谀骋粚?shí)數(shù)N>c,使得當(dāng)M>N時(shí)，對(duì)一切xelo都有
3、rf(x,y)dy-^(x)則稱含參量反常積分（1）在/上一致收斂于0（X），或簡(jiǎn)單地說(shuō)含參量積分（1）在/上一致收斂。定理19.7（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）含參量反常枳分（1）在/撒謊能夠一致收斂的充要條件是：對(duì)任給正數(shù)￡，總存在某一實(shí)數(shù)M>c,使得當(dāng)ApA/M時(shí)，對(duì)一切都冇“W2(3)由定義1,我們還有以下含參量積分i致收斂的判別準(zhǔn)則.定理19.8含參量積分^f（x,y）dy在/上一致收斂的充分且必要條件是limF(A)=0,其中F(A)=SUPxel/(x,y)dy在［A+oo］上一致收斂（其中》
4、>0）,但在（0,+oo）內(nèi)不一致收斂。證作變量代換u=xy,得廠sin與〃_廠sinu血hyMvucjnu?其中4〉0.由于J（）——w收斂，故對(duì)任給正數(shù)◎總存在正數(shù)M,使當(dāng)人>M時(shí)，就r+-sinwy.duM,則當(dāng)A>—時(shí)，對(duì)一切x>J>0,由（5）式有o卄sinAy人~T~因此JimFW=O,從而由定理19.8,（4）式在［5,2）上一致收斂，又因?yàn)閘im5sinwfr-^sinwfdu=du.AuuF（A）=supr-^sinxyfl4dy=supr+-sinw,Jdu>嚴(yán)sinufduAG（0,Q）J人yA€（0,+?>）」Ay
5、UJou兀2■（其中f^^HLdy=-將在本節(jié)例6中證明），所以由定理19.8,（4）式在（0,+oo）上不一Jou2致收斂。若對(duì)任意［c"］u/,含參量反常積分（1）在［⑦切上一致收斂，則稱（1）在/上內(nèi)閉一致收斂，以上論述證明了含參量反常積分（4）在（0,+oo）上內(nèi)閉一致收斂。關(guān)于含參量反常積分一致收斂性與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂Z間的聯(lián)系有下述定理。定理19.9含參量反常積分（1）在/上一致收斂的充要條件是：對(duì)任一趨于+oo的遞增數(shù)列｛A”｝（其中4產(chǎn)C）,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（6）"=
6、在/撒謊能夠一致收斂。證［必要性］由（1）在/上一致收斂，故對(duì)任給￡>0,必存在
7、M>c,使當(dāng)A>A>M.由（7）對(duì)一切xw/,總有uQ）+…+血（兀）卜/（兀y）dy+???+『〕'fgy）dyAmAn=^f｛x,y)dyc,存在相應(yīng)的人>A>M和兀w/,使得J?y)g￡0-一般地,取M廣max歸,4(刊｝g2),則有A2>A2n-i>MAxn^^使得J,/(如)泌心￡。?(8)由上述所得到的數(shù)列｛A”｝是遞增數(shù)列，且lim人”=+oo.現(xiàn)在考察級(jí)數(shù)/，+，f(x,y)dyn==由(8)式知存在正數(shù)￡o,
8、對(duì)任何正整數(shù)N,只要n>N,就有某個(gè)xfI,使得心(兒)卜fr(曲)川》￡()?這與級(jí)數(shù)(6)在/上一致收斂的假設(shè)矛盾。故含參量反常枳分(1)在/上一致收斂。下面列出含參量反常積分的一致收斂性判別法。由于它們的證明與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相應(yīng)的判別法相仿，故從略。魏爾斯特拉斯M判別法設(shè)有函數(shù)g(y),使得
9、/(x,y)Sg(刃,(兀,y)w/刈c,+8)?若Jg(y)〃y收斂，則Jf(x,y)dy在/上_致收斂。狄利克雷判別法設(shè)(i)對(duì)一切實(shí)數(shù)N>c,含參量正常積分rN￡f(x,y)dy對(duì)參量兀在/上一致有界，即存在正數(shù)M,對(duì)一切N>c及一切xwl,都有『/(x,y)d
10、y
