福州五佳教育奧數(shù)精講第10講 數(shù)論綜合(一).doc

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1、福州五佳教育，關(guān)愛每個(gè)孩子的成長83315995第10講數(shù)論綜合（一）涉及知識(shí)點(diǎn)多、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題．1．如果把任意n個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少?【分析與解】我們知道如果有5個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，因?yàn)槠鋬?nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，則它們乘積的個(gè)位數(shù)字只能是0。所以n小于5．:當(dāng)n為4時(shí)，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)(個(gè)位數(shù)字為O或5)，顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個(gè)位數(shù)字為0；如果不含有5的倍數(shù)，則這4個(gè)連續(xù)的個(gè)位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個(gè)位數(shù)字都是4；所以，

2、當(dāng)n為4時(shí)，任意4個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)字只有兩科可能．：當(dāng)n為3時(shí)，有1×2×3的個(gè)位數(shù)字為6，2×3×4的個(gè)位數(shù)字為4，3×4×5的個(gè)位數(shù)字為0，……，不滿足．：當(dāng)n為2時(shí)，有1×2，2×3，3×4，4×5的個(gè)位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足．至于n取1顯然不滿足了．所以滿足條件的n是4．2．如果四個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析與解】兩位的質(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，

3、73，79，83，89，97．第7頁共7頁福新路雙子星大廈B座10層www.wujiajiaoyu.com福州五佳教育，關(guān)愛每個(gè)孩子的成長83315995可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168．所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168．3．如果某整數(shù)同時(shí)具備如下3條性質(zhì)：①這個(gè)數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；②這個(gè)數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；③這個(gè)數(shù)除以9所得的余數(shù)是5．那么我們稱這個(gè)整數(shù)為幸運(yùn)數(shù)．求出所有的兩位幸運(yùn)數(shù)．【分析與解】條件①也就是這個(gè)數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個(gè)數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位

4、的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個(gè)數(shù)滿足條件．其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個(gè)條件都符合的只有14．所以兩位幸運(yùn)數(shù)只有14．4．在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少?【分析與解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37顯然其最大的三位數(shù)約數(shù)為777．5．從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長盡可能大的正方形．按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長是多少毫米?【分析與解】從長2002毫米、寬847毫米的長

5、方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個(gè)數(shù)恰好是2002除以847所得的商．而余數(shù)恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米．6．已知存在三個(gè)小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)．請寫出所有可能的答案．第7頁共7頁福新路雙子星大廈B座10層www.wujiajiaoyu.com福州五佳教育，關(guān)愛每個(gè)孩子的成長83315995【分析與解】設(shè)這三個(gè)數(shù)為a、b、c，且a＜b＜c，因?yàn)閮蓛刹换ベ|(zhì)，所

6、以它們均是合數(shù)．小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個(gè)數(shù)，但是14=2×7，其中質(zhì)因數(shù)7只有14含有，無法找到兩個(gè)不與14互質(zhì)的數(shù)．所以只剩下6，10，12，15，18這5個(gè)數(shù)存在可能的排列．所以，所有可能的答案為(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1．那么最少要分成多少組?【分析與解】26=2×13，33=3×11，34=2×17

7、，35=5×7，63=×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個(gè)數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組．所以，至少要分成3組．8．圖10-1中兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米．兩只甲蟲同時(shí)從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時(shí)，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)?【分析與解】圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)得距離最遠(yuǎn)．如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點(diǎn)，兩甲蟲的距離便最遠(yuǎn)．小