《函數(shù)的極值最值》word版

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1、4、二元函數(shù)的極值、最值10極值定義P208為極大值為極小值駐點極值點，需判別設(shè)、、f<0A<0極大值A(chǔ)>0極小值>0非極值=0不定例1、求的極值解：，，，，令得駐點，在，∴非極值，∴為極值點又∴為極小值例2、求在閉區(qū)域D：，，的最大，最小值。解：，令（在D內(nèi)）在D的內(nèi)部函數(shù)只有一個駐點，在邊界，在，在，得：，即，為駐點比較，，得最大值，最小值在實際問題中要求最大，最小值往往帶有附加條件，即對函數(shù)的自變量除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)外，還有其他的附加條件，這些條件由函數(shù)的各自變量之間的一些方程來表示。例3、求原點到曲線的最大距離此題即在條件下求的最小值問題20條件極值、拉格

2、朗日乘數(shù)法在實際問題中可根據(jù)題意來確定最值而不需判別求在條件下,的極值令稱為目標(biāo)函數(shù),為拉格朗日常數(shù)解得的為可能的極值點例1、求曲面到平面的最短距離解法一、曲面上任一點（x，y，z）到平面的距離∴設(shè)得：∵駐點唯一∴解法二、曲面在任一點的切平面法矢量平面x+y-4z=1的法矢量當(dāng)∥時，即得：,∵在點處切平面平行已知平面∴點到平面距離最短，例2、在曲面位于第一卦限部分上求一點，使該點的切平面與三個坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小。∵曲面位于第一卦限部分上任一點（x，y，z）處的平面方程為：即，∴四面體體積故令由得：∵駐點唯一∴為所求點。例3、在第一象限內(nèi)，過橢圓曲線上任一點作橢

3、圓的切線，求諸切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值。解：在第一象限內(nèi)曲線上任一點（x，y）處的切線方程為：切線與兩坐標(biāo)軸的截距分別為若要使S最小，只要最大故設(shè)由得：∵駐點唯一∴例4、P212例5.325.33第六章多元函數(shù)的積分10二重積分1、定義P2252、性質(zhì)P226其中表示平面區(qū)域D的面積,，表D的面積3、幾何意義，，則表示以為頂，以D為底的曲頂柱體體積。4、二重積分在直角坐標(biāo)下的計算法設(shè)用平面截立體得如圖<1>所示的曲邊梯形其面積例1、計算二重積分其中D由曲線直線及軸所圍成。解：首先畫出積分區(qū)域D例2、將二重積分化為累次積分，其中D為：(1)拋物線及所圍成解：

4、交點═(2)圓，，所圍(3)，，所圍，例3、計算,0≤y≤1110例4、P228，例6.1，6.2，6.3例5、，則1解：0例6、20例7、交換積分次序例8、P231例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.105、二重積分在極坐標(biāo)下計算方法例9、計算D：解：例10、D：由，，，所圍。解：例11、D由,及軸所圍。得交點例12、P238例6.136.146.15例13、證明證：又例14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)增加，試證：證：設(shè)D關(guān)于y=x對稱∵單增∴∴即