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1、第十六章含參量積分關(guān)于積分理論，我們已經(jīng)學(xué)過一元函數(shù)的積分理論：包括常義積分（積分限有限、被積函數(shù)有界）和廣義積分，其積分變量和被積函數(shù)的變量一樣，都是一個。但在各技術(shù)領(lǐng)域，經(jīng)常會遇到這樣的積分：對一個變量的積分還與一個參數(shù)有關(guān)，如天體力學(xué)中常遇到的橢圓積分：，從形式可以看出，積分變量為，積分過程結(jié)果依賴于，此時稱為積分過程中的參量。顯然，若將視為一個變元，記為一個二元函數(shù)，則上述積分只涉及其中的一個變量，將另一個變量視為參量，像這種積分形式在工程技術(shù)領(lǐng)域還有很多。因此，為解決相應(yīng)的技術(shù)問題，必須先在數(shù)學(xué)上進行研究，這就是
2、本章的內(nèi)容：含參變量的積分，包括：常義積分和廣義積分兩部分，由于這種積分形式的被積函數(shù)是多元函數(shù)，因此，多元函數(shù)理論為參變量積分的研究提供了理論基礎(chǔ)?！?含參變量的常義積分只考慮一個參量的含參量積分，因此，被積函數(shù)是二元函數(shù)。設(shè)在，此時是為關(guān)于的一元連續(xù)函數(shù)，因而可積?？紤]其積分，顯然其與有關(guān)，記為，更一般，引入，稱其為含參變量的積分。注：由此可看出：含參量的積分結(jié)果是一個關(guān)于參變量的函數(shù)，由此就決定了含參量積分的研究內(nèi)容：不僅在于計算，還要研究其分析性質(zhì)。更進一步的，將其分析性質(zhì)應(yīng)用于含參量的計算，由此帶來了積分計算的新
3、方法：通過引入?yún)⒆兞?，將一個一般積分轉(zhuǎn)化為含參量的積分，通過含參量積分的性質(zhì)進行計算含參量的積分，最后取特定的參量值計算出原積分。為此，先研究含參量積分的分析性質(zhì)。551定理1：（連續(xù)性）設(shè)，則。分析：在不能利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得到連續(xù)性的情況下，需利用定義證明函數(shù)的連續(xù)性，這是處理這類問題的一般方法。證明：任取，取，使，只須證：。事實上，由于：（要使，只須充分小，形式上看：只須利用在點的連續(xù)性，但實際不僅如此，更要用到一致連續(xù)性。因為，僅僅利用在點或（x,）的連續(xù)性，對任意的，得到的不僅與有關(guān)，還與有關(guān)，因而，不能保證在整
4、個積分區(qū)間[a,b]上都有；同時，在證明點的連續(xù)性時，只允許。）由于，因而，f(x,y)在D上一致連續(xù)，故，對任意的>0，存在，使得當(dāng)時，成立，因而，當(dāng)時，成立，551故，所以，在點的連續(xù)性，由的任意性得，。注：結(jié)論表明：極限和積分運算可以換序：。定理2：（可微性）設(shè)，，則且，即微分與積分運算可以換序。分析：證明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定義驗證即可。證明：任取，及，使，由中值定理，，其中，。由定理1，則。更進一步討論變限的含參量積分，記。定理3：若，，且551，則。證明：任取，取，使，由于。由于，因而有界，不
5、妨設(shè)，又且類似定理1的證明得，對任意，存在，當(dāng)時成立，，，因而，。故，。定理4：設(shè)，且，則，且：。證明：，利用中值定理，存在551()使得。.定理得證。上面討論了含參量積分的連續(xù)性和可微性，從運算角度看，這些性質(zhì)給出了兩種運算間的可換序性，在相關(guān)的運算中有非常重要的作用（見后面的例子）。下面的結(jié)論表明了含參量積分的積分運算的可換序性。由此給出積分計算的一種新方法，為此，考慮由一個二元函數(shù)給出的兩個含參量積分的形式，事實上，設(shè)，則可引入兩個含參量積分：，顯然：，因而可積，考慮二者的積分。551分析這兩個積分：被積函數(shù)都是，積
6、分順序不同，因而是函數(shù)在區(qū)域D上的兩個不同順序的積分，也是后面多重積分理論中的累次積分。自然要考慮這樣的問題：二者是否相等，即：累次積分是否可換序。定理5：（積分換序性），設(shè)，則。即兩個累次積分可以換序。分析：采用一種特殊的方法：將其轉(zhuǎn)化為證明兩個函數(shù)相等，這是一個新的思想，要求掌握。證明：記，，下證：，特別有，為此，先證：。由于，故：。同樣，對，記，則，故：，因而。所以，。551令，得。因此：，，特別：。應(yīng)用：重點討論在積分計算中的應(yīng)用。例1：設(shè)，計算解：由公式：。例2：計算分析：兩種運算是否可換序：含參量積分的連續(xù)性定
7、理。解：記，則，因而：，故，。注：這類題目通常要求確定參量的活動區(qū)間，技巧是，在極限點附近取充分小的區(qū)間，滿足定理要求的條件即可。例3：計算。解：令，則，因而：551。例4：計算分析：通過例子熟悉含參量積分在積分計算中的運用。解：取，記，則在上連續(xù)。故：利用萬能公式，因而，求積分得，551又，則，故。注：利用含參量積分的求導(dǎo)理論計算定積分，從計算思想上看和分部積分法相同，即通過求導(dǎo)，改變被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，使之簡單化，便于計算；但是，與分部積分的求導(dǎo)對象不同，因而，是采用了不同的求導(dǎo)方式來改變積分結(jié)果，因此，這兩種方法在處理復(fù)
8、雜類型的定積分時都是有效的方法。如本例用分部積分法將積分轉(zhuǎn)變?yōu)橄率龇e分計算，，而后者可以利用定積分公式來計算。但對有些例子來說，能用含參量積分的求導(dǎo)理論來計算的，不一定能用定積分理論的分部積分法來計算。例4：計算分析：此類題目較難：難在其一：看似是一個正常的定積分，但利用定積分的計算技術(shù)（常規(guī)）無法解決
