學(xué)案換元法,放縮法

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1、數(shù)學(xué)選修4-5編寫：龔莉1.4不等式的證明(2)——放縮法班級姓名【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解：初步掌握放縮法的概念；理解放縮法證題的基本方法；掌握：掌握放縮法證題的基本方法；應(yīng)用：培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡單推理的技能.【重點難點】重點：1.理解放縮法的推理依據(jù).2.掌握放縮法證明命題的方法.難點：理解放縮法的推理依據(jù)及方法.【自主檢測】1．當(dāng)時，求證：．2．（1）化簡：；（2）求證：..【知識點拔】1．放縮法定義：即：要證明不等式A

2、種方法稱為放縮法。2．常用的放縮方法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度。常用的方法是：①添加或舍去一些項，如：，，②將分子或分母放大（或縮?。┤纾孩壅娣?jǐn)?shù)的性質(zhì)：“若，，則”（糖水不等式）④利用基本不等式，如：；⑤利用函數(shù)的單調(diào)性⑥利用函數(shù)的有界性：如：≤；≥；⑦利用常用結(jié)論：Ⅰ、，Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度?。嘟^對值不等式：≤≤；【經(jīng)典體驗】所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能

3、同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談?wù)勥\用放縮法證題的常見題型。一.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項或減項以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證。例2.已知a、b、c不全為零，求證：二.分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。三.裂項放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的

4、n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求。例5.已知且，求證：對所有正整數(shù)n都成立。四.公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例6.已知函數(shù)，證明：對于且都有。例7.已知，求證：當(dāng)時。五.換元放縮對于不等式的某個部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。例8.已知，求證。例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有，當(dāng)且時，求證：。六.單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例10.已知a，b∈R，求證。，【自主探究

5、】1．當(dāng)n>2時，求證：2．求證：【課堂反饋】1．若a,b,c,d?R+，求證：2．若是自然數(shù)，求證3．求證：數(shù)學(xué)選修4-5編寫：龔莉1．4不等式的證明（2）（放縮法）課時練習(xí)1．設(shè)，，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.2．已知三角形的三邊長分別為，設(shè)，則與的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.3．設(shè)不等的兩個正數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4．設(shè)，則與1的大小關(guān)系是.5．設(shè)，則的整數(shù)部分為.6．已知均為正數(shù)，且，求證：.7．設(shè)，求證：.8．設(shè)，求證：.9．設(shè)，求證：.10．，求證：不等式對所有的正整數(shù)都成立.【自助餐】1：

6、設(shè)、、是三角形的邊長，求證≥32．已知數(shù)列的前項和滿足：，（1）寫出數(shù)列的前三項，，；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)，有