換元法論文換元法注解論文

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1、換元法論文換元法注解論文關(guān)于換元法的一點(diǎn)注解摘要：本文討論了不定積分兩種換元法的同一性和差異性。通過(guò)對(duì)比它們的同一性和差異性，給出了教與學(xué)過(guò)程中需要注意的一些細(xì)節(jié)，以便高效、準(zhǔn)確地把握換元法的思想和解題技巧。關(guān)鍵詞：湊微分法第二換元法同-性差異性一、換元法的介紹不定積分的求解主要依賴于兩種積分方法——換元法和分部積分法，換元法乂包括第?換元法(湊微分法)和第二換元法兩種，這些內(nèi)容在眾多關(guān)于微積分的教材文獻(xiàn)中都會(huì)作介紹。在目前使用最廣泛的同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》教材上，關(guān)于換元法有如下定理。定理1[1]：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=(x)可導(dǎo)，那么F((X))是f((x))'(x)的原

2、函數(shù)，即有換元公式：Jf((u))'(u)du=F((u))+C=(ff(u)du)u=(x)(1)定理2[1]：設(shè)函數(shù)心屮(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且W(t)#0o又設(shè)f((t))'(t)具有原函數(shù)①(t),則①(屮(x))是彳(x)的原函數(shù)(其中屮(X)是灼屮(t)的反函數(shù))，即有換元公式：Jf(x)dx=(D(T-1(x))+C=(Jf(T(t))屮'(t)dt)t=T(2)它們分別給出了湊微分法和第二換元法的使用方法。二、兩種換元法的同一性首先，我們稍作注意，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)很重要的結(jié)論：兩種換元法本質(zhì)上采用的是同一個(gè)公式。Jf((u))'(u)du=ff(x)dx(3)其中

3、湊微分法是將公式從左向右使用，而第二換元法則是從右向左使用。另一方面，進(jìn)一步思考，我們發(fā)現(xiàn)，湊微分法和換元法雖然采用的同-?個(gè)公式，并且使用方式完全相反，但是基本思想?yún)s是統(tǒng)一的，即為了將被積函數(shù)盡可能變得簡(jiǎn)單，以便使用積分公式求出最終的原函數(shù)。三、兩種換元法的不同1＞湊微分法的特點(diǎn)第…，湊微分法使用公式(3)是從左向右進(jìn)行變換，這種變換方式比較易于理解，也較容易使學(xué)生掌握其本質(zhì)方法。第二，湊微分法的關(guān)鍵部分在于準(zhǔn)確找到湊微分的對(duì)象。因此，在這里介紹時(shí)只要學(xué)生正確把握復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，湊微分就比較容易求解。2、第二換元法的特點(diǎn)第二換元法是反向使用公式(3),此處關(guān)鍵的步驟在于“置身事外雹

4、雖然兩種換元法都是為了將被積函數(shù)化簡(jiǎn)單，但是第二換元法本身的應(yīng)用不是拘泥于函數(shù)本身的化簡(jiǎn)，而是從“旁觀者"的角度來(lái)理解簡(jiǎn)單。即對(duì)于被積函數(shù)中比較復(fù)雜而不容易化簡(jiǎn)的部分，盡可能“消滅”它，采用各種方法將這部分變得簡(jiǎn)單，而不是■?定要拘泥于公式中那樣去找復(fù)合結(jié)構(gòu)。四、講授比較首先，由于換元法的根本是復(fù)合函數(shù)的微分運(yùn)算規(guī)則，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)如果學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)能比較熟悉，則學(xué)習(xí)過(guò)程會(huì)簡(jiǎn)單很多。這一點(diǎn)從筆者在多次講授時(shí)從復(fù)合函數(shù)引入換元法基本公式（3）的效果感覺(jué)非常明顯。其次，湊微分法的關(guān)鍵步驟在于找到需要湊出來(lái)的微分部分，在這部分學(xué)習(xí)吋以公式（3）作為出發(fā)點(diǎn)，著重理解復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)，將會(huì)起到

5、事半功倍的效果。第三，由于第二換元法較湊微分法要復(fù)雜，因此，第二換元法（尤其是三角函數(shù)換元）的學(xué)習(xí)是初次學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這里需要讓學(xué)生“部分地”撇開(kāi)公式（3）,認(rèn)清換元的目的，則學(xué)習(xí)時(shí)將會(huì)更加有目的性，掌握起來(lái)也要容易得多。參考文獻(xiàn)[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，高等數(shù)學(xué)（第二版）（上冊(cè)），北京：高等教育出版社，1982.5。[2]候風(fēng)波，應(yīng)用數(shù)學(xué)（理工類），北京：科學(xué)出版社，2007.9o[3]陶筱平等，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2010.8o[4]吳良大，高等數(shù)學(xué)教程，北京：清華大學(xué)出版社，2007.7。[1]蕭樹(shù)鐵扈志明，微積分（上）（修訂版），北京：清華大學(xué)出版社，200

6、8.4o