經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)的凹凸性擬凹擬凸

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1、經(jīng)濟(jì)學(xué)中函數(shù)的凸凹性質(zhì)問題在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的討論中，我們經(jīng)常遇到凸函數(shù)、凹函數(shù)以及擬凹函數(shù)、擬凸函數(shù)等概念，例如生產(chǎn)可能性邊界曲線是凹函數(shù)，無差異曲線是凸函數(shù)等等，但是這些數(shù)學(xué)名詞對于非專業(yè)人員來說比較抽象，有的文章或教材采取形象的說法，比如說曲線凸向原點(diǎn)或凹向原點(diǎn)、圖形是凸的、上凸函數(shù)、下凸函數(shù)等等，這樣一來，就將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念搞的不倫不類，有的教科書甚至錯(cuò)誤地定義了凸性和凹性。一、關(guān)于凸函數(shù)與凹函數(shù)凹性，凸性，它們都是在凸集范圍內(nèi)定義的，是關(guān)于凸集的性質(zhì)，一個(gè)集合中任意兩點(diǎn)之間的連線也在該集合中，這樣的集合稱為凸集合，常用D

2、來表示。凸和凹具有如下性質(zhì)：凸性：f（tx+（1-t）y）<=tf(x)+(1-t)f(y)標(biāo)準(zhǔn)的凸函數(shù)是開口向上的。凹性f（tx+（1-t）y）>=tf(x)+(1-t)f(y)凹函數(shù)是開口向下的D是f(.)的定義域的一個(gè)凸子集。若任意的x,y∈D,λ∈[0,1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，則稱f(.)在D上是凹函數(shù)（“凸組合的函數(shù)值不小于函數(shù)值的凸組合”）在n維空間的凸區(qū)域內(nèi)，(x1,x2,.....Xn)中的兩點(diǎn)X=(x1，x2,.........xn),Y=(y1,y2,.......

3、yn),設(shè)0<λ<1，如果：f[λx1+(1-λ)y1,λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn]<=λf(x1,x2,......xn)+(1-λ)f(y1,y2,......yn)則稱函數(shù)f(X)在n維區(qū)域內(nèi)是凸函數(shù)；同理，如果：f[λx1+(1-λ)y1,λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn]>=λf(x1,x2,......xn)+(1-λ)f(y1,y2,......yn)則稱函數(shù)f(X)在n維區(qū)域內(nèi)是凹函數(shù)；n維空間不易理解，舉個(gè)簡單例子：若f(x)在(a,b)有定義，在定

4、義域內(nèi)取x1,x2，非負(fù)數(shù)q1,q2，q1+q2=1，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)則f(x)在(a,b)內(nèi)為凸函數(shù)。二、關(guān)于擬凹性和擬凸性同樣可以定義，在n維區(qū)域內(nèi)的任何兩個(gè)點(diǎn)X，Y，X=(x1，x2,.........xn),Y=(y1,y2,.......yn),對所有的0<=λ<=1，如果：f[λX+(1-λ)Y]>=min[f(X),f(Y)]則稱f(X)是擬凹函數(shù)。同理，如果：f[λX+(1-λ)Y]<=max[f(X),f(Y)]則稱f(X)是擬凸函數(shù)?？梢宰C明，廣義上講，凹函數(shù)都

5、是擬凹函數(shù)，凸函數(shù)都是擬凸函數(shù)。（不失一般性的假設(shè)f(X)>f(Y)，代入凹函數(shù)的定義，即可證明）設(shè)曲線的方程為F（x），如果在一個(gè)區(qū)間上，F(xiàn)''（x）>0，則F（x）在區(qū)間內(nèi)是嚴(yán)格凸的；如果F（x）<0，即二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則F（x）在區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格凹函數(shù)。這個(gè)定理提供了檢查具體函數(shù)的凸性和凹性的簡易方法。例如，考慮函數(shù)f（x）=x↑3-3x↑2+3x，它的二階導(dǎo)數(shù)是f''=6x-6，當(dāng)x<1時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)是負(fù)數(shù)，f（x）是嚴(yán)格凹的；當(dāng)x>1時(shí)，f（x）是嚴(yán)格凸的。下圖中的表述是不準(zhǔn)確的，圖形是凹的，而函數(shù)恰恰是凸函數(shù)，圖形是凸的

6、，函數(shù)卻是凹函數(shù)。在n個(gè)變量的情況下，海賽行列式提供了檢查具體函數(shù)凸性或凹性的方法。多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的海賽行列式的各階主子式，在符號上交叉，則對應(yīng)的函數(shù)在整個(gè)區(qū)間是嚴(yán)格凹的，如果各階主子式都是正的，則函數(shù)為嚴(yán)格凸的。對于擬凹性和擬凸性的討論就要用到海賽加邊行列式。三、用效用函數(shù)和無差異曲線來說明擬凹函數(shù)和凸函數(shù)的關(guān)系二維平面上，很容易通過圖形來直觀地理解凹函數(shù)和凸函數(shù)，超過三維空間，凸性和凹性以及擬凹函數(shù)就難以用圖形來表達(dá)，必須用數(shù)學(xué)來論證。經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)給出了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，且還在向前發(fā)展。我們知道，效用函數(shù)是根據(jù)主觀的偏

7、好來設(shè)計(jì)的一種規(guī)律性的傾向，對于所有消費(fèi)者都適用的實(shí)值效用函數(shù)是不存在的。為討論問題方便，就要對構(gòu)建的函數(shù)給出一定的假設(shè)約束。設(shè)序數(shù)的效用函數(shù)為：U=f(q1，q2)其中，q1和q2分別是消費(fèi)的兩種商品Q1和Q2的數(shù)量。這里就假定，f(q1，q2)是連續(xù)的，具有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，并且是一個(gè)嚴(yán)格的擬凹函數(shù)。而且還假定效用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是嚴(yán)格的正數(shù)，以反映人們的需求，即不管對哪一種商品，消費(fèi)者總是希望得到更多的。這里若證明效用函數(shù)是嚴(yán)格擬凹的，則需要滿足原來的式子沒有等于號就行。如果給定一個(gè)效用水平U0，U0=f(q1，q2

8、）就變成了同一效用下，兩種不同消費(fèi)品的組合，即無差異曲線，我們可以想象和觀察到的是無差異曲線，而不是效用函數(shù)，其實(shí)觀察到的無差異曲線是q2對q1的函數(shù)，q2=g（q1），可以證明無差異曲線是嚴(yán)格凸的，但效用函數(shù)卻是嚴(yán)格擬凹的，是觀察不到的，至少函數(shù)U=f(q1，q2）也是一個(gè)立體的圖形，而