函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 畢業(yè)論文

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1、編號：09005110140南陽師范學(xué)院2013屆畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計）題目：函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用完成人：班級：2009級01班學(xué)制：4年專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：完成日期：2013年4月15日目錄摘要（1）0引言（1）1凸函數(shù)的定義及判定定理（1）2函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用（2）2.1凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線分析中的應(yīng)用（2）2.1.1無差異曲線的凸性分析（2）2.1.2生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析（5）2.2凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)優(yōu)化中的作用（6）2.2.1利潤最大問題（7）2.2.2最省原材料問題（8）2.2.3最佳庫存問題（8）2.3凸函數(shù)在風(fēng)險態(tài)度中的應(yīng)用（9）3小結(jié)（11）參考文獻(xiàn)（12

2、）Abstract（12）函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用作者：劉暢指導(dǎo)老師：華柳青摘要：本文主要探討了函數(shù)凸性怎樣在有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中發(fā)揮作用，并從數(shù)學(xué)的角度詳細(xì)說明了經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中一些結(jié)論的來源，幫助學(xué)生準(zhǔn)確的掌握這些結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟(jì)問題的思維習(xí)慣.關(guān)鍵字：凸函數(shù)；邊際分析；效用函數(shù)0引言凸函數(shù)是一個十分重要的函數(shù)，它的定義最早是由Jensen給出.凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì),它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖像以及證明不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)凸性分析經(jīng)濟(jì)問題是在十九世紀(jì)五十年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃、最優(yōu)控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用學(xué)科的興起而發(fā)展起來的.經(jīng)濟(jì)學(xué)中所涉及的函數(shù)

3、大多數(shù)都有一定的凸性，從而凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題的研究成為了當(dāng)今的一大熱點(diǎn).人們經(jīng)常用它來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益.1凸函數(shù)的定義及判定定理定義1設(shè)在上有定義，如果對任意，及,都有（1）則稱為凸函數(shù).等價定義記，則.由的凸性可知第11頁（共12頁）從而有，即，整理后可得（2）定理1設(shè)函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo)，函數(shù)在區(qū)間是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，且，.定理2設(shè)在開區(qū)間上可導(dǎo)，則下述論斷相互等價：1）為上凸函數(shù)；2）為上的增函數(shù)；3）對上的任意兩點(diǎn)，有（3）定理3如果函數(shù)在上有存在二階導(dǎo)函數(shù),1）若對，有，則函數(shù)在上是一個凸函數(shù).2）若對，有，則函數(shù)在上是一個凹

4、函數(shù).定理4（極值的第二充分條件）設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，.1）若，則在取得極大值.2）若，則在取得極小值.2函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用2.1凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線分析中的應(yīng)用2.1.1無差異曲線的凸性分析第11頁（共12頁）無差異曲線用來表示消費(fèi)者偏好相同的兩種商品的所有組合.如下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數(shù)量和商品2的數(shù)量，曲線、分別表示兩條不同商品組合的無差異曲線.曲線是連續(xù)的，并在軸上的具有二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)又是大于零的，所以無差異曲線是凸函數(shù).從上圖可以明顯地看出，無差異曲線的斜率為負(fù)值,而且無差異曲線斜率的絕對值是遞減的.商品的邊際替代率遞減規(guī)律決定了無差

5、異曲線具有這樣的特征.下面介紹一下邊際替代率遞減規(guī)律.商品1對商品2的邊際替代率的定義公式為,式中和分別表示為商品1和商品2的變化量.當(dāng)商品數(shù)量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為從上式可以看出，無差異曲線上某一點(diǎn)的邊際替代率就是無差異曲線在該點(diǎn)上的斜率的絕對值.第11頁（共12頁）利用上圖來具體說明商品的邊際替代率遞減規(guī)律和無差異曲線形狀之間的關(guān)系.在圖中，當(dāng)消費(fèi)者沿著既定的無差異曲線由點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，商品1的增加量為10，相應(yīng)的商品2的減少量為20.這兩個變量的比值的絕對值為.在圖中，由于無差異曲線是凸函數(shù)，并且斜率是負(fù)的，這就保證了當(dāng)商品1的數(shù)量一單位一單位地逐步增加時，即由點(diǎn)經(jīng)

6、、、運(yùn)動到的過程中，每增加一單位的商品1所需放棄的商品2的數(shù)量是遞減的，也就是說兩個變量的比值的絕對值是逐漸減小的.這就是在兩商品的代替過程中普遍存在的邊際曲線代替率遞減規(guī)律.隨著一種商品的消費(fèi)數(shù)量的逐步增加，消費(fèi)者想要獲得更多的這種商品的愿望就會遞減，從而他為了多獲得一單位的這種商品而愿意放棄的另一種商品的數(shù)量就會越來越少.經(jīng)濟(jì)活動中，我們可以根據(jù)市場調(diào)查利用無差異曲線和預(yù)算線等的關(guān)系來得到商品的需求曲線，廠商會根據(jù)需求曲線獲得最大的利潤的生產(chǎn)組合，而消費(fèi)者也可以得到最滿意的商品組合.所以利用凸函數(shù)的性質(zhì)描繪無差異曲線在買賣雙方的交易活動中起到很大的作用.2.1.2生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析短

7、期生產(chǎn)函數(shù)表示在資本投入量固定時，由資本投入量變化所帶來的最大產(chǎn)量的變化.由該生產(chǎn)函數(shù)可以得到相應(yīng)的資本總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量相互之間的關(guān)系，它們的定義公式分別為：,,或者第11頁（共12頁）根據(jù)三者的定義，可以繪制下圖中的函數(shù)圖像來表示三者的關(guān)系.圖中的橫軸表示可變要素勞動的投入量，縱軸表示產(chǎn)量，、、三條曲線順次表示勞動的總產(chǎn)量曲線、平均產(chǎn)量曲線和邊際產(chǎn)量曲線.由圖可以清楚地看到，對一種可變生產(chǎn)要素的生