函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用

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1、編號：南陽師范學院2013屆畢業(yè)生畢業(yè)論文（設計）題目：函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用完成人：班級：2009級01班學制：4年專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)指導教師：完成日期：2013年4月15日目錄摘要（1）0引言（1）1凸函數(shù)的定義及判定定理（1）2函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用（2）2.1凸函數(shù)在經(jīng)濟函數(shù)曲線分析中的應用（2）2.1.1無差異曲線的凸性分析（2）2.1.2生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析（5）2.2凸函數(shù)在經(jīng)濟優(yōu)化中的作用（6）2.2.1利潤最大問題（7）2.2.2最省原材料問題（8）2.2.3最佳庫存問題（8）2.3凸函數(shù)在風險態(tài)度中的應用（9）

2、3小結(jié)（11）參考文獻（12）Abstract（12）函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用作者：劉暢指導老師：華柳青摘要：本文主要探討了函數(shù)凸性怎樣在有關經(jīng)濟學問題中發(fā)揮作用，并從數(shù)學的角度詳細說明了經(jīng)濟學教材中一些結(jié)論的來源，幫助學生準確的掌握這些結(jié)論，培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識解決經(jīng)濟問題的思維習慣.關鍵字：凸函數(shù)；邊際分析；效用函數(shù)0引言凸函數(shù)是一個十分重要的函數(shù)，它的定義最早是由Jensen給出.凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì),它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖像以及證明不等式等方面都有廣泛的應用.利用函數(shù)凸性分析經(jīng)濟問題是在十九世紀五十年代以后隨著數(shù)學

3、規(guī)劃、最優(yōu)控制論、數(shù)理經(jīng)濟學等應用學科的興起而發(fā)展起來的.經(jīng)濟學中所涉及的函數(shù)大多數(shù)都有一定的凸性，從而凸函數(shù)在經(jīng)濟學中的最優(yōu)化問題的研究成為了當今的一大熱點.人們經(jīng)常用它來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益.1凸函數(shù)的定義及判定定理定義1設在上有定義，如果對任意，及,都有（1）則稱為凸函數(shù).等價定義記，則.由的凸性可知第10頁（共12頁）從而有，即，整理后可得（2）定理1設函數(shù)在開區(qū)間可導，函數(shù)在區(qū)間是凸函數(shù)當且僅當，且，.定理2設在開區(qū)間上可導，則下述論斷相互等價：1）為上凸函數(shù)；2）為上的增函數(shù)；3）對

4、上的任意兩點，有（3）定理3如果函數(shù)在上有存在二階導函數(shù),1）若對，有，則函數(shù)在上是一個凸函數(shù).2）若對，有，則函數(shù)在上是一個凹函數(shù).定理4（極值的第二充分條件）設在點的某鄰域內(nèi)一階可導，在處二階可導，且，.1）若，則在取得極大值.2）若，則在取得極小值.2函數(shù)凸性在經(jīng)濟學中的應用2.1凸函數(shù)在經(jīng)濟函數(shù)曲線分析中的應用2.1.1無差異曲線的凸性分析第10頁（共12頁）無差異曲線用來表示消費者偏好相同的兩種商品的所有組合.如下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數(shù)量和商品2的數(shù)量，曲線、分別表示兩條不同商品組合的無差異曲線.曲線是連續(xù)的，并在軸上

5、的具有二階導數(shù)，二階導數(shù)又是大于零的，所以無差異曲線是凸函數(shù).從上圖可以明顯地看出，無差異曲線的斜率為負值,而且無差異曲線斜率的絕對值是遞減的.商品的邊際替代率遞減規(guī)律決定了無差異曲線具有這樣的特征.下面介紹一下邊際替代率遞減規(guī)律.商品1對商品2的邊際替代率的定義公式為,式中和分別表示為商品1和商品2的變化量.當商品數(shù)量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為從上式可以看出，無差異曲線上某一點的邊際替代率就是無差異曲線在該點上的斜率的絕對值.第10頁（共12頁）利用上圖來具體說明商品的邊際替代率遞減規(guī)律和無差異曲線形狀之間的關系.在圖中，

6、當消費者沿著既定的無差異曲線由點運動到點時，商品1的增加量為10，相應的商品2的減少量為20.這兩個變量的比值的絕對值為.在圖中，由于無差異曲線是凸函數(shù)，并且斜率是負的，這就保證了當商品1的數(shù)量一單位一單位地逐步增加時，即由點經(jīng)、、運動到的過程中，每增加一單位的商品1所需放棄的商品2的數(shù)量是遞減的，也就是說兩個變量的比值的絕對值是逐漸減小的.這就是在兩商品的代替過程中普遍存在的邊際曲線代替率遞減規(guī)律.隨著一種商品的消費數(shù)量的逐步增加，消費者想要獲得更多的這種商品的愿望就會遞減，從而他為了多獲得一單位的這種商品而愿意放棄的另一種商品的數(shù)量就會越

7、來越少.經(jīng)濟活動中，我們可以根據(jù)市場調(diào)查利用無差異曲線和預算線等的關系來得到商品的需求曲線，廠商會根據(jù)需求曲線獲得最大的利潤的生產(chǎn)組合，而消費者也可以得到最滿意的商品組合.所以利用凸函數(shù)的性質(zhì)描繪無差異曲線在買賣雙方的交易活動中起到很大的作用.2.1.2生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析短期生產(chǎn)函數(shù)表示在資本投入量固定時，由資本投入量變化所帶來的最大產(chǎn)量的變化.由該生產(chǎn)函數(shù)可以得到相應的資本總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量相互之間的關系，它們的定義公式分別為：,,或者第10頁（共12頁）根據(jù)三者的定義，可以繪制下圖中的函數(shù)圖像來表示三者的關系.圖中的橫軸表示可

8、變要素勞動的投入量，縱軸表示產(chǎn)量，、、三條曲線順次表示勞動的總產(chǎn)量曲線、平均產(chǎn)量曲線和邊際產(chǎn)量曲線.由圖可以清楚地看到，對一種可變生產(chǎn)要素的生產(chǎn)函數(shù)來說，邊際產(chǎn)量遞