談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

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1、談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用　　數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，形是數(shù)的翅膀，數(shù)是形的靈魂。華羅庚先生曾指出，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。數(shù)量關(guān)系借助幾何圖形可以使許多抽象問題變得直觀形象，有利于解題思路的擴展，而有些涉及幾何圖形的問題如能借助數(shù)的輔助，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，則可獲得簡潔的解法，因此，數(shù)與形二者相結(jié)合便能優(yōu)勢互補，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化。下面就幾種常見的應(yīng)用談?wù)勛约旱捏w會?！　?.將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題　　例1已知：0　　求證：a2+b2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+（

2、1-a）2+（1-b）2　　≥22。　　分析一：該題若單純地看作一個代數(shù)不等式問題，是一個很復(fù)雜的不等式證明問題，整體把握不等式左端的結(jié)構(gòu)特點，可以聯(lián)想到勾股定理和四條線段的長度，2可以聯(lián)想到邊為1的正方形的對角線長，不難找到下面的簡單證明方法：　　證明：構(gòu)造以1為邊長的正方形如圖（1）所示，則O1A=a2+（1-b）2；O1B=（1-a）2+b2；O1C=（1-a）2+（1-b）2；O1D=a2+b2；AC=BD=2?！　　逴1A+O1B+O1C+O1D=（O1A+O1C）+（O1B+O1D）≥AC+BD=227（當(dāng)且僅當(dāng)點O，O1重合時，等號

3、成立）　　∴結(jié)論成立?！　》治龆涸擃}也可以聯(lián)想到兩點間的距離公式，構(gòu)造點的坐標(biāo)，用解析幾何簡單地證明?！　∽C明：在坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)O（0，0），M（1，0），N（1，1），P（0，1），Q（a，b），如圖（2）所示：　　則：

4、OQ

5、=a2+b2

6、MQ

7、=（1-a）2+b2　　

8、PQ

9、=a2+（1-b）2

10、NQ

11、=（1-a）2+（1-b）2　　左邊=

12、OQ

13、+

14、MQ

15、+

16、PQ

17、+

18、NQ

19、　　=（

20、OQ

21、+

22、NQ

23、）+（

24、PQ

25、+

26、MQ

27、）　　=≥

28、ON

29、+

30、PM

31、=22=右邊　　當(dāng)Q點與PM、ON的交點重合時，“=”成立　　∴原不等式成立　　上面一題

32、是一個不等式證明題，分別用平面幾何和解析幾何較簡單地給予了證明。有些數(shù)學(xué)符號語言有它的幾何意義，這類題直接入手較難時，不妨借助圖形的輔助，使抽象問題具體化，會找到較簡單地解題方法?！　?.將形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題?！　±?：已知四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=135°，AD=2，AB=1+3，BC=26，求CD?！　〗猓阂訟B所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1+3，0），C（1+33，23），D（1，3）?！　∫浊螅篊D=157　　總結(jié)：象這類幾何題若單純用幾何方法解要添加輔助線，要用正弦定理解兩個三角形，運

33、算量復(fù)雜，但轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式運算問題就簡單得多，在計算中發(fā)揮以數(shù)助形的優(yōu)勢?！　?.數(shù)形結(jié)合在求函數(shù)最值中的應(yīng)用?！　∮行┖瘮?shù)最值問題若用純代數(shù)方法解較為復(fù)雜，若能將題中已知問題中的幾何意義轉(zhuǎn)化出來，借助直觀的幾何圖形便可找到解決問題的有效途徑?！　±?：函數(shù)y=x2+2x+2+x2-4x+8的最小值是。　　解：將原式變形為y=（x+1）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2　　設(shè)A（-1，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點P，使

34、PA

35、+

36、PB

37、最小，如圖（3）所示：　　作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B交x軸

38、于點P，　　易證：

39、PA

40、+

41、PB

42、=

43、PB

44、+

45、PA'

46、≥A'B=32　　∴原函數(shù)的最小值是32　　例4：求y=sina2-cosa（0　　解：把它看成A（2，0），與半圓x2+y2=1（y≤0）上任意一點P（cosa，sina）的連線的斜率，則當(dāng)這A（2，0）的直線與半圓x2+y2=1（y≤0）相切時，如圖（4），斜率最大?！　　鄖max=kPA=32　　例5：已知：x+y+1=0，求（x-1）2+（y-1）2的最小值?！　〗猓喊眩▁-1）2+（y-1）2看成直線x+y+1=0上任意一點P（x，y）到定點A（1，1）的距離，如圖（5）?！　t

47、：d=?Ax0+Bx0+CA2+B2??1+1+1?2=322.7　　歸納：在求最值中兩點距離公式、斜率公式、利用直線系的截距等這些公式的幾何背景是數(shù)形結(jié)合解題的有力工具，常用方法。　　4.數(shù)形結(jié)合在三角中的應(yīng)用?！　∮行┤菃栴}，初看無法將它直接譯為幾何圖形來解決，但只要將其正確地進(jìn)行恒等變形，能使用熟悉的數(shù)學(xué)模型巧妙地構(gòu)造出幾何圖形來，充分體現(xiàn)了以形助數(shù)的作用?！　±?：計算sin270o+sin280o-2cos20ocos10o的值?！　》治觯哼@是一道純?nèi)呛瘮?shù)求值問題，你對其進(jìn)行恒等變形?！　〗猓涸?sin270o+sin280o-2

48、sin70osin80o×322.　　=sin270o+sin280o-2sin70osin80ocos30o　　此時可以構(gòu)造一個外接圓