數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：數(shù)形結(jié)合方法是高中數(shù)學(xué)中的常見和一個(gè)很有效的方法，這種解題方法使用適當(dāng)可以事半功倍，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是學(xué)生綜合使用所學(xué)的知識(shí)，這種類型的題目在歷年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，那么如何在平時(shí)有針對(duì)性的培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力是一個(gè)很有意義的問(wèn)題，對(duì)這方面的探討也有很多的實(shí)際意義。筆者就近幾年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合近幾年的高考對(duì)這種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用作一些分析，僅供各位同仁參考：關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合、教學(xué)滲透、引導(dǎo)運(yùn)用、提升能力一、數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)中具有怎樣的地位和意義1、數(shù)學(xué)思維能力是學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)，而數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思

2、想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。2、實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)有明顯的幾何意義。如等式：x2+

3、y2=1表示一個(gè)單位圓。3、縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)構(gòu)的思想方法解決一些抽象的問(wèn)題，可以起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4、數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。19　二、高考對(duì)于數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想是如何考查的函數(shù)的圖像是函數(shù)的一種直觀表示形式，它從“形”的方面刻畫了函數(shù)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

4、系；通過(guò)觀察函數(shù)的圖像，可以形象而直觀地了解到函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和變化規(guī)律；借助函數(shù)的圖像，既有助于記憶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和變化規(guī)律，又有助于研究函數(shù)的性質(zhì)，以及利用數(shù)形結(jié)合的方法去解決某些問(wèn)題；高考中有關(guān)函數(shù)的圖像主要考查基本初等函數(shù)及簡(jiǎn)單的三次函數(shù)的圖像。利用函數(shù)圖像，可以很方便地研究函數(shù)的幾何性質(zhì)，如單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值，零點(diǎn)，值域及定義域，對(duì)稱性等。以下是一些和考點(diǎn)與典型例題，作簡(jiǎn)要分析，有助于我們?cè)诮虒W(xué)中把握教學(xué)的深淺度。考點(diǎn)一：集合例1：（2010年高考遼寧卷理1）已知A，B均為集合U={1，3，7，9}的子集，且A∩B={3}，CUB∩A={9}，則A=（）（A）{1，3}(B

5、){3，7，9}(C){3，5，9}(D){3，9}解析：因?yàn)锳∩B={3}，所以3∈A，又因?yàn)镃UB∩A={9}，所以9∈A，故選D。本題也可以用Venn圖的方法來(lái)解，如下圖：由圖易知A={3，9}?？键c(diǎn)二：利用三角函數(shù)圖像求方程的根的個(gè)數(shù)例2：方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2）內(nèi)解的個(gè)數(shù)是3。分析：在同一平面坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出y=sin2x和y=sinx（0，2）內(nèi)的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就得到解的個(gè)數(shù)。19解析：由圖可知，在區(qū)間（0，2）內(nèi)y=sin2x和y=sinx圖像有3個(gè)交點(diǎn)，即方程在區(qū)間（0，2）內(nèi)有3個(gè)解?？键c(diǎn)三：考查函數(shù)的圖像例3：（2010年山東省高考題11）函數(shù)y=2

6、x-x2的大致圖像是（）19解析：由于2x-x2=0在x<0時(shí)有一解；在x>0時(shí)有兩解，分別為x=2和x=4。因此函數(shù)y=2x-x2有三個(gè)零點(diǎn)，故應(yīng)排除B、D，又當(dāng)x→-∞時(shí)，2x→0，而x2→+∞，故y=2x-x2→-∞，因此排除D，故選A。本題以函數(shù)的圖像為載體考查指數(shù)函數(shù)y=2x和二次函數(shù)y=x2的圖像及性質(zhì)，考查了函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)以及抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí)。求解本題的關(guān)鍵是能判斷出在x>0時(shí)，y=2x和y=x2有兩個(gè)交點(diǎn)?？键c(diǎn)四：利用圖像解分段函數(shù)及不等式綜合題例4：（2010年高考江蘇卷11）已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是_____。解析：方法一：分類討論當(dāng)x=-1時(shí)，無(wú)解。當(dāng)-

7、10，化為（1-）+1>1，恒成立。當(dāng)00，化為（1-）+1>(2x)+1，即1->2x，（x+1）<2，所以00且有1->2x，從而很容易解得x的范圍是：（-1，-1）?？键c(diǎn)五：求距離例5（2010年高考遼寧卷7）設(shè)拋