淺談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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1、.數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用姓名:王文杰學(xué)號:281010316班級:08級數(shù)應(yīng)三班摘要："數(shù)形結(jié)合"思想方法是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想可以使我們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中化難為易，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，輕松地找到解決問題的金鑰匙。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維有機地結(jié)合。它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個方面，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用形式大體可分為代數(shù)問題的幾何解法與幾何問題的代數(shù)解法兩個方面

2、，它滲透于中學(xué)教材之中，本文試從函數(shù)圖像和幾何圖形兩個方面，結(jié)合中學(xué)教材的實際情況，舉例說明“以形助數(shù)”在解決問題中的一些妙用。一、運用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題例1：求函數(shù)y=

3、x+3

4、－

5、x+1

6、的值域。分析：就自變量x的范圍討論去掉絕對值，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象即可得y的范圍函數(shù)的圖象如圖，由圖象即可得y∈［－2，2］。2．利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題?一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。利用韋恩圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題。如：　　例2．有

7、48名學(xué)生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時參加數(shù)理小組的8人，同時參加數(shù)化小組的6人，同時參加理化小組的7人，問同時參加數(shù)理化小組的有多少人？...分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如圖），則三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用n表示集合的元素，則有：?????????????????????????即：∴，即同時參加數(shù)理化小組的有1人。?3．利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運算　　例2．已知集合⑴若，求的范圍。⑵若，求的范圍。?????????????????????分

8、析：先在數(shù)軸上表示出集合A的范圍，要使，由包含于的關(guān)系可知集合B應(yīng)該覆蓋集合A，從而有：，這時的值不可能存在．要使，當(dāng)a>0時集合A應(yīng)該覆蓋集合B，應(yīng)有成立，即。???????????????...當(dāng)時，，顯然成立.故時的取值范圍為：二用于解決不等式和方程問題1.利用基本初等函數(shù)的圖像解不等式例3.使不等式成立的的取值范圍。分析：如右圖，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)和的圖像，其中與的圖像關(guān)于軸對稱。由圖像知，當(dāng)時，函數(shù)的圖像在直線的上方，故使成立的的取值范圍是。2.用于討論二次方程的根的分布二次方程與二次函數(shù)間的關(guān)系十分密切。因此在討論二次方程

9、的實根分布時，可借助二次函數(shù)的圖象分析題設(shè)和結(jié)論，直觀而簡捷地求解。通過的相互轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)y=f(x)的圖象直觀解決問題。如：例4.已知二次方程，有兩個正根，求的取值范圍。分析：設(shè)，由題設(shè)可知，二次函數(shù)的圖象與軸的交點落在軸的正半軸上。如圖：?所以有或，解不等式組可得的取值范圍是。...3.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個數(shù)問題通過構(gòu)造函數(shù)，把求方程解的問題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題。如：例5．解方程?????????分析：由方程兩邊的表達式我們可以聯(lián)想起函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖像，這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出

10、方程的近似解為。?三借助函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小?一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進行比較。如：例6.試判斷三個數(shù)間的大小順序。分析：這三個數(shù)我們可以看成三個函數(shù)：在時，所對應(yīng)的函數(shù)值。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個函數(shù)的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當(dāng)時，所對應(yīng)的三個點的位置，從而可得出結(jié)論：?！　∷挠糜诮鉀Q單位圓中的有向線段三角不等式問題在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對應(yīng)三角函數(shù)的圖像．如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng)用它解決三角不等式

11、問題，簡便易行。如：0xy1例7：解不等式分析:從不等式的兩邊表達式我們可以看成兩個函數(shù).在上作出它們的圖像,得到四個不同的交點,橫坐標(biāo)分別為:,而當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時,的圖像都在的圖像上方．所以可得到原不等式的解集為：．...例8：解不等式．分析:原不等式進行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂傻玫剑河帧?∴不等式兩邊同時除以可得：．∴下面關(guān)鍵分析如何求的解集．我們可以聯(lián)想正切函數(shù)的圖像,在區(qū)間內(nèi)作出的函數(shù)x－1y=10y1圖像，再作出兩平行于軸的直線和與的圖像相交于點．兩點對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為．又因為正切函數(shù)的周期為,故可求得所求不等式的解集為:五用于解決“距離”問題

12、兩點間距離公式或斜率公式模型構(gòu)造輔助圖形，找出代數(shù)問題的幾何背景，簡便解答某些代數(shù)綜合題．如：?例9．設(shè)，，試求的最小值。A（1,1）B（3，3）分析：觀察可知是圓上的一點，是等