數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用

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1、..“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用一、以數(shù)助形“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，而這兩個(gè)方面是緊密聯(lián)系的．體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面．“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”．全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個(gè)方面來(lái)體會(huì)．此外還應(yīng)該注意體會(huì)“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢(shì)與局限性，相互補(bǔ)充．“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非．”華羅庚的這四句詩(shī)很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，

2、也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位．要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見(jiàn)的結(jié)合點(diǎn)，，從“以數(shù)助形”角度來(lái)看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問(wèn)題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等．例1．已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)和之間的距離可以用公式計(jì)算．利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離．解：設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，它到原點(diǎn)

3、的距離是當(dāng)時(shí)，．所以原點(diǎn)到直線的距離為．【說(shuō)明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問(wèn)題，有時(shí)可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點(diǎn)）．在高中“解析幾何”里，我們將專門學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問(wèn)題代數(shù)化．例2．已知的三邊長(zhǎng)分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）．求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）．【分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問(wèn)題，可用“海倫公式”計(jì)算，但運(yùn)用“海倫公式”一般計(jì)算比較繁，能避免最好不用．本題能不能避免用“海倫公式”，這要看所給的三角形有沒(méi)有特殊之處．代數(shù)運(yùn)算比較過(guò)硬的人可能利用平方差公式

4、就可以心算出來(lái)：，也就是說(shuō)，的三邊滿足勾股定理，即是一個(gè)直角三角形．“海倫公式”：三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，p為周長(zhǎng)的一半，則三角形的面積S為：．解：由三邊的關(guān)系：．所以是直角三角形．所以的面積．【說(shuō)明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”資料..的手法．另外，熟練的代數(shù)運(yùn)算在這道題中起到了比較重要的作用．代數(shù)運(yùn)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)基本功，就像武俠小說(shuō)中所說(shuō)的“內(nèi)功”，沒(méi)有一定的內(nèi)功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直線與拋物線相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求證

5、：．【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關(guān)問(wèn)題，只是由于a、b、c的符號(hào)不確定，導(dǎo)致拋物線和直線在坐標(biāo)系中位置不確定，考慮問(wèn)題需要進(jìn)行分類討論，比較麻煩．如果將問(wèn)題代數(shù)化，看成有關(guān)方程的問(wèn)題，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，就省去了分類的麻煩．解：∵直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴．∴．．∵直線與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，∴、為關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根．∴，．∴．∴．例4．將如圖的五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形．【分析】這是一類很常見(jiàn)的問(wèn)題．如果單單從“形”的角度來(lái)思考，恐怕除了試驗(yàn)，沒(méi)有其它更好的辦法

6、了．但是如果我們先不忙考慮怎樣剪裁，而是先從“數(shù)”的角度來(lái)算一下，我們不難利用面積算出剪拼出來(lái)的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)該是．現(xiàn)在我們只需要在圖中找出來(lái)一段邊長(zhǎng)為的線段，以此為一邊作一個(gè)正方形（如圖），我們就不難設(shè)計(jì)出各種剪裁方法了．【說(shuō)明】有人把這種方法叫做“面積法”，其實(shí)“面積法”這個(gè)名字并沒(méi)有揭示這類方法的所有本質(zhì)．“面積”是剪拼問(wèn)題中的一個(gè)“不變量”，幾乎所有的剪拼問(wèn)題，都可以先抓住“面積”這個(gè)不變量來(lái)進(jìn)行“數(shù)”的計(jì)算．另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角度來(lái)刻畫(huà)“圖形”的大小特征的一個(gè)概念．因此，所謂“面積法”，實(shí)際上

7、就是“數(shù)形結(jié)合”資料..這種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)．二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅．幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的分割圖可以用來(lái)記憶完全平方公式；將兩個(gè)全等的梯形拼成一個(gè)平行四邊形可以用來(lái)記憶梯形面積公式；等等．（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算．比

8、如：絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（更一般地：實(shí)數(shù)與在數(shù)軸上關(guān)于對(duì)稱，換句話說(shuō)，數(shù)軸上實(shí)數(shù)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為）；利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開(kāi)口、判別式、兩根之間