數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中運用

《數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中運用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、..“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運用一、以數(shù)助形“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯(lián)系的．體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面．“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”．全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個方面來體會．此外還應(yīng)該注意體會“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性，相互補充．“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”華羅庚的這四句詩很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢互補”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，

2、也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位．要在解題中有效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點，，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個結(jié)合點：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等．例1．已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點和之間的距離可以用公式計算．利用這個公式計算原點到直線的距離．解：設(shè)是直線上的任意一點，它到原點

3、的距離是當(dāng)時，．所以原點到直線的距離為．【說明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點）．在高中“解析幾何”里，我們將專門學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問題代數(shù)化．例2．已知的三邊長分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）．求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）．【分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問題，可用“海倫公式”計算，但運用“海倫公式”一般計算比較繁，能避免最好不用．本題能不能避免用“海倫公式”，這要看所給的三角形有沒有特殊之處．代數(shù)運算比較過硬的人可能利用平方差公式

4、就可以心算出來：，也就是說，的三邊滿足勾股定理，即是一個直角三角形．“海倫公式”：三角形三邊長為a、b、c，p為周長的一半，則三角形的面積S為：．解：由三邊的關(guān)系：．所以是直角三角形．所以的面積．【說明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”資料..的手法．另外，熟練的代數(shù)運算在這道題中起到了比較重要的作用．代數(shù)運算是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個基本功，就像武俠小說中所說的“內(nèi)功”，沒有一定的內(nèi)功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直線與拋物線相交，兩交點的橫坐標(biāo)分別為、，直線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為．求證

5、：．【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關(guān)問題，只是由于a、b、c的符號不確定，導(dǎo)致拋物線和直線在坐標(biāo)系中位置不確定，考慮問題需要進(jìn)行分類討論，比較麻煩．如果將問題代數(shù)化，看成有關(guān)方程的問題，進(jìn)行相關(guān)的計算，就省去了分類的麻煩．解：∵直線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為，∴．∴．．∵直線與拋物線兩交點的橫坐標(biāo)分別為、，∴、為關(guān)于x的一元二次方程的兩個不等實根．∴，．∴．∴．例4．將如圖的五個邊長為1的正方形組成的十字形剪拼成一個正方形．【分析】這是一類很常見的問題．如果單單從“形”的角度來思考，恐怕除了試驗，沒有其它更好的辦法

6、了．但是如果我們先不忙考慮怎樣剪裁，而是先從“數(shù)”的角度來算一下，我們不難利用面積算出剪拼出來的正方形邊長應(yīng)該是．現(xiàn)在我們只需要在圖中找出來一段邊長為的線段，以此為一邊作一個正方形（如圖），我們就不難設(shè)計出各種剪裁方法了．【說明】有人把這種方法叫做“面積法”，其實“面積法”這個名字并沒有揭示這類方法的所有本質(zhì)．“面積”是剪拼問題中的一個“不變量”，幾乎所有的剪拼問題，都可以先抓住“面積”這個不變量來進(jìn)行“數(shù)”的計算．另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角度來刻畫“圖形”的大小特征的一個概念．因此，所謂“面積法”，實際上

7、就是“數(shù)形結(jié)合”資料..這種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)．二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅．幾何直觀運用于代數(shù)主要有以下幾個方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等．（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運算．比

8、如：絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點之間的距離；數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱（更一般地：實數(shù)與在數(shù)軸上關(guān)于對稱，換句話說，數(shù)軸上實數(shù)關(guān)于的對稱點為）；利用函數(shù)圖像的特點把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對稱軸、開口、判別式、兩根之間