參數(shù)未知的分?jǐn)?shù)階超混沌

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1、第５９卷第４期２０１０年４月物理學(xué)報(bào)Ｖｏｌ．５９，Ｎｏ．４，Ａｐｒｉｌ，２０１０１０００３２９０／２０１０／５９（０４）／２３０５０５ＡＣＴＡＰＨＹＳＩＣＡＳＩＮＩＣＡ２０１０Ｃｈｉｎ．Ｐｈｙｓ．Ｓｏｃ．參數(shù)未知的分?jǐn)?shù)階超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步趙靈冬胡建兵劉旭輝（中北大學(xué)電子測(cè)試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原０３００５１）（２００９年７月２１日收到；２００９年７月２８日收到修改稿）基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了控制器和未知參數(shù)的辨識(shí)規(guī)則，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系統(tǒng)同給定信號(hào)的追蹤控制與同步．?dāng)?shù)值仿真證實(shí)了所設(shè)計(jì)的控

2、制器及未知參數(shù)辨識(shí)規(guī)則的有效性．關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階，超混沌，追蹤控制與同步，自適應(yīng)ＰＡＣＣ：０５４５［１２］Ｘｕ等研究了異結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步，但１引言遠(yuǎn)不如整數(shù)階混沌同步發(fā)展得充分．分?jǐn)?shù)階混沌同步現(xiàn)在主要是基于時(shí)域的分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定性盡管分?jǐn)?shù)階微積分理論有３００多年的歷史，但理論和頻域的Ｌａｐｌａｃｅ終值定理．基于分?jǐn)?shù)階線性因長時(shí)間沒有實(shí)際的應(yīng)用背景而發(fā)展緩慢［１］．自系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，通常是設(shè)計(jì)控制器，使誤差系統(tǒng)１９８３年Ｍａｎｄｅｌｂｏｒｔ指出自然界及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)的系數(shù)矩陣為特定的定常矩陣．這一方面控制代價(jià)域中存在大量的分?jǐn)?shù)維事實(shí)以來［２］，作為分形幾何較大，另一方面犧牲

3、了非線性項(xiàng)．而基于Ｌａｐｌａｃｅ終和分?jǐn)?shù)維動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)的分?jǐn)?shù)階微積分取得了極大值定理實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步，盡管能取得一定的進(jìn)展．整數(shù)階微積分僅僅決定于函數(shù)的局部特的效果，但是這種方法缺乏靈活性，很多同步方法征，而分?jǐn)?shù)階微積分以加權(quán)的形式考慮了函數(shù)的整和同步類型難以實(shí)現(xiàn)．體信息，在很多方面應(yīng)用分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型可以更準(zhǔn)針對(duì)這些問題，胡建兵等［３，１４］提出了幾個(gè)分?jǐn)?shù)［３］階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論．本文基于這些理論，確地描述實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)．研究表明：分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)具有自相似現(xiàn)象．一些整數(shù)階研究了如何設(shè)計(jì)控制器和參數(shù)辨識(shí)規(guī)則，使參數(shù)未［４—６］知的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)同任意給定的信號(hào)實(shí)現(xiàn)追

4、蹤控制混沌系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階形式也是混沌的．混沌同步由于在保密通信等領(lǐng)域的潛在應(yīng)用與同步．而得到了廣泛的研究并取得了許多成果．同步方法主要有自適應(yīng)同步、觀測(cè)器同步、滑模同步、耦合同２追蹤控制分?jǐn)?shù)階超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系統(tǒng)步、反饋同步等．同步類型主要有完全同步、投影同［王興元等［１３］通過對(duì)Ｌｏｒｅｎｚ混沌系統(tǒng)添加一個(gè)步、反同步、追蹤同步等７—９］．這些研究成果更多的非線性項(xiàng)提出了一個(gè)四維超混沌是針對(duì)整數(shù)階混沌系統(tǒng)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)的Ｌｏｒｅｎｚ系統(tǒng)，其方．分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)更程可表示為：具有普遍性且分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有更大的密鑰空·ｘ＝ａ（ｘ－ｘ）＋ｘ４，間，因而分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步更具研究價(jià)值１２１．然·

5、ｘ＝ｃｘ－ｘｘ－ｘ，而由于分?jǐn)?shù)階微分理論的復(fù)雜性和起步較晚，分?jǐn)?shù)２１１３２（１）階混沌同步盡管也取得了一些成果，如Ｙｕ等［１０］實(shí)·ｘ３＝ｘ１ｘ２－ｂｘ３，現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Ｌｏｒｅｎｚ混沌系統(tǒng)的同步，Ｓｈｅｕ等［１１］研·ｘ＝－ｘｘ＋ｒｘ，究了分?jǐn)?shù)階４２３４ＮｅｗｔｏｎＬｅｉｐｎｉｋ混沌系統(tǒng)的脈沖同步，其中ａ＝１０，ｂ＝８／３，ｃ＝２８，ｒ＝８．該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)通訊聯(lián)系人．Ｅｍａｉｌ：ｈｊｂ２００８＠１６３．ｃｏｍ２３０６物理學(xué)報(bào)５９卷階形式：ｅ＝ｘ－ｙ，２２２αｄｅ＝ｘ－ｙ，（６）ｘ＝ａ（ｘ－ｘ）＋ｘ４，３３３α１２１ｄｔｅ＝ｘ－ｙ．４４４αｄｘ＝ｃｘ－ｘｘ－ｘ，定理如果設(shè)計(jì)的控制器

6、及未知參數(shù)辨識(shí)規(guī)α２１１３２ｄｔ（則選擇為：２）αｄααｘ３＝ｘ１ｘ２－ｂｘ３，ｕ＝（－ａ～＋１）ｘ－ｙ＋ａ～ｙ＋ｙ－ｄｙ，ｄｔ１１１２４α１ｄｔαｄααｘ４＝－ｘ２ｘ３＋ｒｘ４，ｕ＝（ｃ～＋ａ～）ｘ～ｙ－ｙ－ｘｙ－ｄｙｄｔ２１－ａ１２１３α２，ｄｔ（７）本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（２）的參數(shù)ａ，ｂ，ｃ，ｒ未知時(shí)，如α～ｄｕ＝（－ｂ＋１）ｘ＋ｘｙ－ｙ－ｙ，何設(shè)計(jì)控制器和參數(shù)辨識(shí)規(guī)則使分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（２）追３３１２３α３ｄｔ蹤同步任意給定的參考信號(hào)ｙ（ｔ）＝［ｙ１，ｙ２，ｙ３，α～ｄＴｕ＝ｘ－ｘｘ＋（ｒ＋１）ｘ－ｙ－ｙ－ｙ．ｙ］，即ｌｉｍ‖ｘ－ｙ‖＝０．４１２３４１４α４４ｉｉｄｔｔ→∞ｑ參數(shù)自

7、適應(yīng)規(guī)則：［１４］ｄＸ引理１對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)＝ｆ（Ｘ）ｑαｄｔｄ～ａ＝－（ｘ－ｘ）ｅ１，Ｔα１２（Ｘ＝［ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ］），當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次ｑ≤１ｄｔｄｑＸｄα～時(shí)，如果存在正定矩陣Ｐ使函數(shù)Ｊ＝ＸＰｑ≤０恒αｂ＝－ｘ３ｅ３，ｄｔｄｔ（８）成立，則系統(tǒng)變量ＴαＸ＝［ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ］漸近穩(wěn)定．ｄ～，ｃ＝ｘｅα１２以～～～～ｄｔａ，ｂ，ｃ，ｒ作為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（２）的未知參數(shù)αｄ～ａ，ｂ，ｃ，ｒ的估計(jì)，參數(shù)估計(jì)誤差：αｒ＝ｘ４ｅ４，ｄｔ～ｅ＝ａ－ａ，ａ則分?jǐn)?shù)階受控系統(tǒng)（５