5函數(shù)的奇偶性-中等難度-講義

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1、函數(shù)的奇偶性岳＞知識(shí)講解一.禽敎奇偶住的虧乂都有-xeDr且都有-xwD，且1?奇函數(shù)：設(shè)函數(shù))=/(兀)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)于D內(nèi)的任意一個(gè)兀，f(-x)=-f(x),則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù).2?偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=fM的定義域?yàn)椤?,如果對(duì)于D內(nèi)的任意一個(gè)兀，/(-x)=/(x),則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).二.奇偶甜缺的囹彖特征1.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)o"/⑴的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；2.函數(shù)〉y/⑴是奇函數(shù)o/(兀)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.三.判瞬禽敎奇偶槌的方法i?定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)屮心對(duì)稱.若不對(duì)稱，則為非奇

2、非偶函數(shù)；若對(duì)稱，則再判斷/(-X)=-/(兀)或f(-x)=f(x)是否為恒等式.定義的等價(jià)形式：fM±/(-%)=0,-^-=±1./(―X)2?圖象法2?性質(zhì)法：設(shè)/(兀)，g(兀)的定義域分別是久Q，那么在它們的公共定義域d=u2上:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇乂奇=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇；四、奇偶禽敎的槌質(zhì)1?函數(shù)具有奇偶性=>其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2.函數(shù)"八兀）是偶函數(shù)o）匸fM的圖彖關(guān)于軸對(duì)稱；3.函數(shù)=是奇函數(shù)⑴的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.4.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.5

3、.若奇函數(shù)）匸/⑴的定義域包含0,貝M（°）=°.扎、纟見(jiàn)禽敎的奇偶槌1.正比例函數(shù)y=W*0）是奇函數(shù)；2.反比例函數(shù)y=-（k^0）是奇函數(shù)；3.函數(shù)y=kx+b伙h00工0）是非奇非偶函數(shù)；4.函數(shù)y=ax2+c（a豐0）是偶函數(shù)；5.常函數(shù)歹=。是偶函數(shù)；k6?對(duì)勾函數(shù)y=x+-伙工0）是奇函數(shù)；爲(wèi)Q經(jīng)典例題一，鎮(zhèn)空龜(坎12小龜丿1.給定四個(gè)函數(shù)：①y=x3+飯；②y=-(x>0)；③y=x3+l；④丫二.其XX中是奇函數(shù)的有①④(填序號(hào)).【解答】解：:①函數(shù)的定義域?yàn)镽,則f(-x)二-(xW)二-f(x)

4、,則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；②函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)；③函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(0)=0+1=1^0,則函數(shù)f(X)為非奇非偶函數(shù)；咒兀2+1④函數(shù)的定義域?yàn)?-°°,0)U(0,+°°),f(-x)=二二-f-%x(X),則函數(shù)f(X)是奇函數(shù)，故答案為：①④2?f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xVO時(shí)，f(x)=x2-3x,則當(dāng)x>0時(shí)?，f(x)=_X?_3x?【解答】解：???f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，/.f(?x)=-f(x),若x>0,則-x<0,Vx<0時(shí)，f(x)=x2-

5、3x,當(dāng)-x<0時(shí)，f(-x)=x2+3x=-f(x),.?.f(x)=-x2-3x,故答案為：x2-3x,1.已知f(x)是R上偶函數(shù)，且在［0,+°°)上遞減，比較/(-

6、)與f(1+a+a2)3的大小關(guān)系為f(l+a+a?)Wf(—).413133【解答】解：根據(jù)題意,l+a+a2=(-+a+a2)—(a+-)24244則又由f(X)在[0,+oo)上遞減，3則有f(1+a+a2)Wf(-),4又由f(x)是R上偶函數(shù)，3則有f(1+a+a2)Wf(■_),43故答案為:f(1+a+a2)Wf(?-)?41.已知f

7、(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)，若f(a-2)

8、答】解：根據(jù)題意，2a2+a+1=2(a'—a—)+-二2(a+~)?+-上一，2168288.90151955iflj2a~-2a+3=2(a~-a+—)~~2(a—)~+一上一；42222由f(x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(-8,0)上遞增，可知f(x)在(0,+°°)上遞減.若f(2a2+a+l)2a2-2a+3,即3a-2>0,解22可得a>?則a的取值范圍(？+°°)；2故答案為：(-,+8)?6?已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=x2+2x(x$0),若f(

9、3-3a2)>f(2a-a2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-?2【解答】解：???函數(shù)f(x)=x2+2x(x20)是增函數(shù)，且f(0)=0,f(x)是奇函數(shù)???f(x)是R上的增函數(shù).由f(3-a2)>f(2a-a2),J，是3-a2>2a-a2,因此，解得a<

10、.3故答案為：a<-.7.若f(x)二ax'+bx+l-