高等代數(shù)課件(北大版)第九章歐式空間§

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1、§2標(biāo)準(zhǔn)正交基§3同構(gòu)§4正交變換§1定義與基本性質(zhì)§6對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形§8酉空間介紹§7向量到子空間的距離─最小二乘法小結(jié)與習(xí)題第九章歐氏空間§5子空間2021/7/19數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院§9.6對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形一、實(shí)對稱矩陣的一些性質(zhì)二、對稱變換三、實(shí)對稱矩陣可正交相似于實(shí)對角矩陣四、實(shí)二次型的主軸問題數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一、實(shí)對稱矩陣的一些性質(zhì)引理1設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，則A的特征值皆為實(shí)數(shù)．證：設(shè)是A的任意一個特征值，則有非零向量滿足數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院其中為的共軛復(fù)數(shù)，令又由A實(shí)對稱，有數(shù)學(xué)與

2、計算科學(xué)學(xué)院由于　是非零復(fù)向量，必有故考察等式，數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院引理2設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，在n維歐氏空間　上定義一個線性變換　如下：則對任意　　　　　有或數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證：取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則　在基　下的矩陣為A，即任取數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院即于是又　　　　是標(biāo)準(zhǔn)正交基，數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院即有又注意到在　中二、對稱變換1．定義則稱　為對稱變換．設(shè)　為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實(shí)對稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：2．基本性質(zhì)①實(shí)對稱矩陣

3、可確定一個對稱變換．一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．事實(shí)上，設(shè)為V的定義V的線性變換?。簞t　即為V的對稱變換．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院②對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對稱矩陣．為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，事實(shí)上，設(shè)　為n維歐氏空間V上的對稱變換，為在這組基下的矩陣，即或數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院于是即所以A為對稱矩陣．由　是對稱變換，有數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間．對任取即證明：設(shè)　是對稱變換，W為　的不變子空間．要證即證由W是　子空間，有因此故　也為　的不變子空間．?dāng)?shù)學(xué)與計算科

4、學(xué)學(xué)院1．(引理4)實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于的特征向量．則三、實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化是正交的．正交基下的矩陣，證：設(shè)實(shí)對稱矩陣A為　上對稱變換　的在標(biāo)準(zhǔn)是A的兩個不同特征值，由數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院又即正交．(定理7)對　　　　　　　總有正交矩陣T，使有即２．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證：設(shè)A為　上對稱變換　在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣．由實(shí)對稱矩陣和對稱變換互相確定的關(guān)系，只需證有n個特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可．n=1時，結(jié)論是顯然的．對　的維數(shù)n用歸納法．有一單位特征向量，其相應(yīng)的特征

5、值為，即假設(shè)n－1時結(jié)論成立，對設(shè)其上的對稱變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院設(shè)子空間顯然W是　子空間，則也是子空間，且又對　　　　　　　有所以　　是　上的對稱變換．由歸納假設(shè)知有n－1個特征向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院從而　　　　　　　就是　的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，又都是的特征向量．即結(jié)論成立．3．實(shí)對稱矩陣正交相似實(shí)對角矩陣步驟設(shè)(i)求出A的所有不同的特征值：其重數(shù)必滿足;(ii)對每個，解齊次線性方程組數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院求出它的一個基礎(chǔ)解系：它是A的屬于特征值的特征子空間　的一組基．正交基

6、把它們按正交化過程化成　的一組標(biāo)準(zhǔn)(iii)因?yàn)榛ゲ幌嗤揖褪荲的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．所以數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使　　　　　　為對角形．例1．設(shè)求一正交矩陣T使成對角形．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）,數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其基礎(chǔ)解數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院把它正交化，得再單位化，得數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間　的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)

7、學(xué)院再求屬于　　　的特征向量，即解方程組得其基礎(chǔ)解數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院再單位化得這樣　　　　　構(gòu)成　的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是A的特征向量，正交矩陣數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院使得注：成立的正交矩陣不是唯一的．①對于實(shí)對稱矩陣A，使而且對于正交矩陣T,還可進(jìn)一步要求數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院事實(shí)上，如果由上述方法求得的正交矩陣T取正交矩陣則是正交矩陣且同時有數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院②如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實(shí)對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的．③因?yàn)檎幌嗨频木仃囈彩腔ハ嗪贤模钥捎脤?shí)對稱矩陣的

8、特征值的性質(zhì)刻畫其正定性：設(shè)　　為實(shí)對稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的(ii)A為半正定的(iii)A為負(fù)定（半負(fù)定）的數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院(iv)A為不定的且④實(shí)對稱矩陣A的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特特征值的個數(shù)（重根按重數(shù)計）．n－秩(A)是0為A的特征值的重數(shù).數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院1．解析幾何中主軸問題將上有心二次曲線或　上有心二次曲面通過坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，這個變換的矩陣是正交矩陣.四、實(shí)二次型的主軸問題2．任意n元實(shí)二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形1）正交線性替換如果線性替換X=CY的