高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.8

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1、§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標§4基變換與坐標變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構(gòu)§6子空間的交與和小結(jié)與習題第六章線性空間2021/7/5數(shù)學與計算科學學院一、同構(gòu)映射的定義二、同構(gòu)的有關(guān)結(jié)論§6.8線性空間的同構(gòu)2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院我們知道，在數(shù)域P上的n維線性空間V中取定一組基后，V中每一個向量　有唯一確定的坐標向量的坐標是P上的n元數(shù)組，因此屬于Pn.這樣一來，取定了V的一組基　　　　對于V中每一個向量　，令　在這組基下的坐標與　對應，就得到V到Pn的一個單射反過來，對于Pn中的任一元素是V中唯一確

2、定的元素，并且　　即　也是滿射.因此，　是V到Pn的一一對應.引入2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院這個對應的重要必性表現(xiàn)在它與運算的關(guān)系上.任取　　　　設(shè)則歸結(jié)為它們的坐標的運算.這就是說，向量用坐標表示后，它們的運算可以從而2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院一、同構(gòu)映射的定義設(shè)　　都是數(shù)域P上的線性空間，如果映射具有以下性質(zhì)：則稱　　　　　的一個同構(gòu)映射，并稱線性空間同構(gòu)，記作ii)iii)i)為雙射2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院為V的一組基，則前面V到Pn的一一對應例1、V為數(shù)域P上的n維線性空間，這里　　　　　

3、為　在　　　　　基下的坐標，就是一個V到Pn的同構(gòu)映射，所以2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院1、數(shù)域P上任一n維線性空間都與Pn同構(gòu).二、同構(gòu)的有關(guān)結(jié)論同構(gòu)映射，則有1）2、設(shè)　　是數(shù)域P上的線性空間，　　　　的2）2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院線性相關(guān)（線性無關(guān)）.3）V中向量組線性相關(guān)（線性無關(guān)）的充要條件是它們的象4）5）的逆映射　　為　　的同構(gòu)映射.是的　子空間，且6）若W是V的子空間，則W在　下的象集2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院中分別取　　　　　　　即得證：1）在同構(gòu)映射定義的條件iii)2）這是同構(gòu)

4、映射定義中條件ii)與iii)結(jié)合的結(jié)果.3）因為由可得反過來，由可得2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院而　是一一對應，只有所以可得因此，　　　　　線性相關(guān)（線性無關(guān)）線性相關(guān)（線性無關(guān)）.4）設(shè)　　　　　　　　　　為V中任意一組基.由2）3）知，　　　　　　　　為　的一組基.所以2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院任取I為恒等變換.5）首先　　　　　　是1－1對應，并且同理，有所以，　為　　　的同構(gòu)映射.由于　是同構(gòu)映射，有再由　是單射，有2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院6）首先，其次，對有W中的向量使于是有由于W為子空

5、間，所以從而有2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院由2可知，同構(gòu)映射保持零元、負元、線性組合所以　　　是的　子空間.顯然，　也為W到　　　的同構(gòu)映射，即注及線性相關(guān)性，并且同構(gòu)映射把子空間映成子空間.2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院證：設(shè)為線性空間的同構(gòu)3、兩個同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.任取有映射，則乘積　　是　　　的1－1對應.所以，乘積　　是　　　的同構(gòu)映射.2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院同構(gòu)關(guān)系具有：反身性：對稱性：傳遞性：注2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院4、數(shù)域P上的兩個有限維線性空

6、間　　同構(gòu)證：若　　　由性質(zhì)2之4）即得（法一）若由性質(zhì)1，有2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院設(shè)　　　　　　　　　分別為V1,V2的一組基.定義　　　　　　使則　就是V1到V2的一個映射.（法二：構(gòu)造同構(gòu)映射）又任取　　　　　設(shè)從而，　　　所以　是單射.若　　　　　即　則2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院任取　　　　設(shè)所以　是滿射.再由　的定義，有易證，對　　　　　　　　　有所以　是V1到V2的一個同構(gòu)映射，故則有　　　　　　　使2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院例2、把復數(shù)域看成實數(shù)域R上的線性空間，證法一：證維數(shù)相等

7、證明：首先，　　　　可表成其次，若則所以，1，i為C的一組基，又，所以，故，2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院證法二：構(gòu)造同構(gòu)映射則　為C到R2的一個同構(gòu)映射.作對應作成實數(shù)域R上的線性空間.把實數(shù)域R看成是自身上的線性空間.例3、全體正實數(shù)R+關(guān)于加法⊕與數(shù)量乘法?。鹤C明：　　　　并寫出一個同構(gòu)映射.2021/7/5§6.8線性空間的同構(gòu)數(shù)學與計算科學學院證：作對應易證　為　　　的1－1對應.且對