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《高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.2》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標§4基變換與坐標變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構§6子空間的交與和小結與習題第六章線性空間9/18/2021數(shù)學與計算科學學院一、線性空間的定義二、線性空間的簡單性質(zhì)§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院而且這兩種運算滿足一些重要的規(guī)律,如引例1空間Pn，定義了兩個向量的加法和數(shù)量乘法：在第三章§2中，我們討論了數(shù)域P上的n維向量9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即數(shù)域P上的一元
2、多頂式環(huán)P[x]中，定義了兩個多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法，而且這兩種運算引例29/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院一、線性空間的定義設V是一個非空集合，P是一個數(shù)域，在集合V中定義了一種代數(shù)運算，叫做加法：即對 ，在V中都存在唯一的一個元素 與它們對應，稱 為的和，記為 ??；在P與V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個元素δ與它們對應，稱δ為的數(shù)量乘積，記為如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間：9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院加法滿足下列四條規(guī)則
3、：①⑤⑥數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：⑦（具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素）數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則:②⑧④對都有V中的一個元素β，使得;（β稱為的負元素）③在V中有一個元素0，對9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院3．線性空間的判定：注：1．凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也2．線性空間的元素也稱為向量，線性空間也稱向量空間．但這里的向量不一定是有序數(shù)組．稱為線性運算．就不能構成線性空間．運算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院
4、例1引例1,2中的Pn,P[x]均為數(shù)域P上的線性空間．例2數(shù)域P上的次數(shù)小于n的多項式的全體，再添的加法和數(shù)量乘法，構成數(shù)域P上的一個線性空間，法構成數(shù)域P上的一個線性空間，常用P[x]n表示．上零多項式作成的集合，按多項式的加法和數(shù)量乘例3數(shù)域P上 矩陣的全體作成的集合,按矩陣用表示．9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院例5全體正實數(shù)R＋，判斷R＋是否構成實數(shù)域R上的線性空間.1)加法與數(shù)量乘法定義為：2)加法與數(shù)量乘法定義為：例4任一數(shù)域P按照本身的加法與乘法構成一個數(shù)域P上的線性空間．9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學
5、與計算科學學院1）R＋不構成實數(shù)域R上的線性空間.⊕不封閉，如R＋．2)R＋構成實數(shù)域R上的線性空間．首先，R＋≠，且加法和數(shù)量乘法對R＋是封閉的.,且ak唯一確定．解：,且ab唯一確定；事實上,其次，加法和數(shù)量乘法滿足下列算律②①9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院③R＋，R＋，即1是零元；④R＋，R＋，且即a的負元素是??；⑤;R＋；⑥;⑦⑧∴R＋構成實數(shù)域R上的線性空間．;9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院即n階方陣A的實系數(shù)多項式的全體，則V關于矩陣例6令的加法和數(shù)量乘法構成實數(shù)域R上的線性空間．證：根據(jù)矩陣
6、的加法和數(shù)量乘法運算可知其中，又V中含有A的零多項式，即零矩陣0，為V的零元素.以f(x)的各項系數(shù)的相反數(shù)為系數(shù)作成的多項式記為－f(x),則f(A)有負元素－f(A).由于矩陣的加法與數(shù)乘滿足其他各條，故V為實數(shù)域R上的線性空間.9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院1、零元素是唯一的.2、，的負元素是唯一的，記為-．證明：假設有兩個負元素β、γ，則有◇利用負元素，我們定義減法：01＝01＋02＝02．證明：假設線性空間V有兩個零元素01、02，則有二、線性空間的簡單性質(zhì)9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院∴兩邊加
7、上即得0＝0；∵∴兩邊加上；即得k0＝0;∵∴兩邊加上－即得∵即得∴兩邊加上3、∵證明：9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院4、如果＝0，那么k＝0或＝0.證明：假若 則練習：1、P273：習題31）2）4）2、證明：數(shù)域P上的線性空間V若含有一個非零向量，則V一定含有無窮多個向量.9/18/2021§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)數(shù)學與計算科學學院證：設而數(shù)域P中有無限多個不同的數(shù)，所以V中有無限多個不同的向量.注只含一個向量—零向量的線性空
