高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.7

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1、§2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標(biāo)§4基變換與坐標(biāo)變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構(gòu)§6子空間的交與和小結(jié)與習(xí)題第六章線性空間6/29/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院§6.7子空間的直和一、直和的定義二、直和的判定三、多個(gè)子空間的直和6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院引入有兩種情形：由維數(shù)公式設(shè)　　為線性空間V的兩個(gè)子空間，此時(shí)即，　　　必含非零向量.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院情形2）是子空間的和的一種特殊情況直和此時(shí)不含非零向量，即6

2、/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、直和的定義設(shè)　　為線性空間V的兩個(gè)子空間，若和是唯一的，和　　　就稱為直和，記作注:若有則①分解式　　　　　唯一的，意即中每個(gè)向量　的分解式6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院②分解式唯一的不是在任意兩個(gè)子空間的和中都成立.例如，R3的子空間這里，在和　　　中，向量的分解式不唯一，如所以和　　　不是直和.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院而在和　　　中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的，事實(shí)上，對(duì)故　　　是直和.都只有唯一分解

3、式：6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理8)和　　　是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院充分性.故　　　　是直和.設(shè)　　　　　，它有兩個(gè)分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、和　　　是直和則有即是直和.“　　”　任取證：“　　”　若于是零向量可表成由于　　　是直和，零向量分解式唯一，故6/29/20

4、21§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：由維數(shù)公式3、和　　　是直和有，是直和.（由2、得之）6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院總之，設(shè)　　　為線性空間V的子空間，則下面四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一1）　　　是直和3）4）4、(定理10)設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間，稱這樣的W為U的一個(gè)余子空間.則必存在一個(gè)子空間W，使6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證：取U的一組基把它擴(kuò)充為V的一組基則余子空間一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設(shè)則但6/29/

5、2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5、設(shè)分別是線性子空間的一組基，則是直和線性無關(guān).證：由題設(shè)，若　　　　　　　　　　線性無關(guān)，則它是的一組基.從而有6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院反之,若　直和，則從而　　　　　　　　　　的秩為r＋s.所以　　　　　　　　　　線性無關(guān).是直和.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1、定義中每個(gè)向量　的分解式三、推廣　　多個(gè)子空間的直和都是線性空間V的子空間，若和是唯一的，則和　　　就稱為直和，記作6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)

6、學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設(shè)　　　　　都是線性空間V的子空間，則下面1）　　　　是直和6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例1、每一個(gè)n維線性空間都可以表示成n個(gè)一維子空間的直和.證：設(shè)　　　　　　是n維線性空間V的一組基,則而故得證.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例2、已知　　　　，設(shè)2）當(dāng)　　　時(shí)，證：1）任取有是　的子空間.證明：1）　　　是　的子空間.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院又對(duì)有從而有故　是　的子

7、空間.下證　是　的子空間.6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院又2）先證任取其中再證又　　　是　的子空間，6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院任取從而所以6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院練習(xí)1設(shè)V1、V2分別是齊次線性方程組①與②的證：解齊次線性方程組①，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系①②解空間：證明:6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院再解齊次線性方程組②.由即得②的一個(gè)基礎(chǔ)解系考慮向量組6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院由于線性無關(guān)

8、，即它為Pn的一組基.又6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、和　　　　　　　是直和證:則練習(xí)：6/29/2021§6.7子空間的直和數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院則零向量還有一個(gè)分解式（*）在(*)式中，設(shè)最后一個(gè)不為0的向量是則(*)式變?yōu)檫@時(shí)，所以，