高等代數(shù)課件(北大版)第六章線性空間§

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1、2021-9-15數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院引線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何言空間的抽象和推廣．我們知道，在解析幾何中討論的三維向量，它們的加法和數(shù)與向量的乘法可以描述一些幾何和力學(xué)問題的有關(guān)屬性．為了研究一般線性方程組解的理論，我們把三維向量推廣為n維向量，定義了n維向量的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運(yùn)算的線性相關(guān)性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論．2021-9-15數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院引現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開言向量及其運(yùn)算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運(yùn)算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念

2、，這種抽象將使我們進(jìn)一步研究的線性空間的理論可以在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用．事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域,同時對于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義.2021-9-15數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合；組成集合的這些事物稱為集合的元素．☆常用大寫字母A、B、C等表示集合；用小寫字母a、b、c等表示集合的元素．當(dāng)a是集合A的元素時，就說a屬于A，記作：a?A；當(dāng)a不是集合A的元素時，就說a不屬于A，記作：a?A數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院注:關(guān)于集合沒有一個

3、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一個描述性的說明．集合論的創(chuàng)始人是19世紀(jì)中期德國數(shù)學(xué)家康托爾（G．Cantor），他把集合描述為：所謂集合是指我們直覺中或思維中確定的,彼此有明確區(qū)別的那些事物作為一個整體來考慮的結(jié)果;集合中的那些事物就稱為集合的元素．即，集合中的元素具有：確定性、互異性、無序性.數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院☆集合的表示方法一般有兩種：描述法、列舉法描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì).M＝｛x

4、x具有性質(zhì)P｝列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來.M＝｛a，a，…，a｝12n22例1M?{(x,y)x?y?4,x,y?R}例2N＝{0,1,2,3,?

5、?}，2Z＝{0,?2,?4,?6,??}例3M?{xx2?1?0,x?R}?{?1,1}數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院☆空集：不含任何元素的集合，記為φ．注意：｛φ｝≠φ約定：空集是任意集合的子集合.☆如果B中的每一個元素都是A中的元素，則稱B是A的子集，記作B?A，（讀作B包含于A）B?A當(dāng)且僅當(dāng)?x?B?x?A☆如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱A與B相等，記作A＝B.A＝B當(dāng)且僅當(dāng)A?B且B?A數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院交：A?B?{xx?A且x?B}；并：A?B?{xx?A或x?B}顯然有，A?B?A;A?A?B練習(xí)：1、證明等式:A?(A?B)?A．證：顯然，

6、A?(A?B)?A．又?x?A,則x?A?B，∴x?A?(A?B)，從而,A?A?(A?B)．故等式成立．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2、已知A?B，證明：(1)A?B?A;(2)A?B?B證：1）?x?A,A?B?x?B?x?A?B,此即，A?A?B,又因A?B?A，∴A?B?A．2)?x?A?B?x?A或x?B,但是A?B,因此無論哪一種情況，都有x?B.此即，A?B?B.又因B?A?B，∴A?B?B．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院設(shè)M、M′是給定的兩個非空集合，如果有一個對應(yīng)法則σ，通過這個法則σ對于M中的每一個元素a，都有M′中一個唯一確定的元素a′與它對應(yīng),則稱σ為?M

7、到M′的一個映射，記作:?:M?M'或M???M'稱a′為a在映射σ下的象，而a′稱為a在映射σ下的原象，記作σ(a)＝a′或?:a?a?.數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院①設(shè)映射?:M?M',集合?(M)?{?(a)a?M}稱之為M在映射σ下的象，通常記作Imσ．顯然，Im??M'②集合M到M自身的映射稱為M的一個變換．?dāng)?shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例4判斷下列M到M′對應(yīng)法則是否為映射1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（是）δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4（不是）τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4（不

8、是）2）M＝Z，M′＝Z＋，（不是）σ：σ(n)＝

9、n

10、,?n?Z（是）τ：τ(n)＝

11、n

12、＋1,?n?Z數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院n?n3）M＝P，M′＝P，（P為數(shù)域）σ：σ(A)＝

13、A

14、，n?n?A?P（是）n?n4）M＝P，M′＝P，（P為數(shù)域）τ：τ(a)＝aE，?a?（PE為n級單位矩陣）（是）5）M、M′為任意兩個非空集合，a是M′中的一個0固定元素.σ：σ(a)＝a，?a?M（是）06）M＝M′＝P[x]（P為數(shù)域）σ：σ(f(x))＝f′(x)，?f(x)?P[x]（是）數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例5M是一個集合，定義I：I(a)＝a，?a?M即I把M上的

15、元素映到它自身，I是一個映射，稱I為M上的恒等映射或