分數(shù)階系統(tǒng)的混沌特性及其控制

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1、萬方數(shù)據(jù)第32g笫,2期J。umal。fs。uthwestU西ni南ve民rsi族ty大for學N學at報ion‘a(chǎn)l自iti然es科-N學atu版ralscienceEditi。nMaL2006文章編號：1003—2843(2006)02—0290—05分數(shù)階系統(tǒng)的混沌特性及其控制高心，周紅鷗(西南民族大學電氣信息學院，四川成都，610041)摘要：本文首先了介紹了分數(shù)微分的基本定義及其逼近方法，并對一個新的分數(shù)階系統(tǒng)的混沌特性進行了研究。仿真結(jié)果表明，該分數(shù)階系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的最低階數(shù)是2．4階。最后，基于逆優(yōu)化控制技術(shù)設計的簡單線性反饋控制器對該分數(shù)階系統(tǒng)的混

2、沌行為進行了有效的控制。關(guān)鍵詞：分數(shù)微分；混沌；控制；分數(shù)階系統(tǒng)主題分類號：0177．92，0221文獻標識碼：A1引言分數(shù)微分已有300多年的歷史，但分數(shù)微分在物理學和工程中的應用卻只有幾十年．據(jù)文獻報道許多系統(tǒng)能展現(xiàn)分數(shù)階動力學行為，如粘滯系統(tǒng)【l】、電介質(zhì)極化【2】、有色噪聲【3】和電磁波【4j等．近年來，將分數(shù)微分算子(fractionalcalculus)引入到非線性動力學系統(tǒng)中，并對分數(shù)階動力學系統(tǒng)的混沌進行了研究．例如：分數(shù)階蔡氏電路在2．7階可產(chǎn)生混沌151；非自治Duffing系統(tǒng)的階數(shù)低于2階能產(chǎn)生混沌[61：分數(shù)階Ri；ssler方程可在2

3、．4階產(chǎn)生混沌17J等等．這些研究為混沌保密通信的應用研究提供了豐富的源泉．混沌控制是混沌研究領(lǐng)域的重點．自從Ott等人【8J的開拓性工作以來，混沌控制就一直處于研究熱潮之中．然而，對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制19-10】的研究卻相對較少．本文針對一個新的分數(shù)階系統(tǒng)進行了混沌仿真分析，該分數(shù)階系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的最低階數(shù)是2．4階．本文基于逆優(yōu)化控制算法控制該分數(shù)階系統(tǒng)的混沌行為，所設計的簡單線性反饋控制器的作用是將狀態(tài)變量的輸出軌跡控制到其平衡點，數(shù)值研究證明了該方法的可行性和有效性．2分數(shù)微分算子及其逼近分數(shù)微分的基本定義是基于Grunwald—Letnikov(GL)

4、定義和Riemann--Liouviller(RL)定SL[¨1，其定義為垡：』型：!旦二}加9廠(九一q)dt”0／(f)(，一f)””這里，”一1≤q≤療，r(．)是gamma函數(shù)．設初始條件為0，則Riemann--Liouviller的Laplace變換為￡f等弘卜叫巾))．@’因此，階數(shù)為g的分數(shù)積分算子可在頻域內(nèi)由傳遞函數(shù)F(J)=1／s，描述．以上分數(shù)微積分的標準定義不能直接在時域仿真中作分數(shù)階算子的運算．為了有效地分析分數(shù)階系統(tǒng)的混沌，需用標準整數(shù)階算子來逼近分數(shù)階算子，當然這種逼近是在允許的誤差范圍內(nèi)，完全可滿足工程的需要．本文將采用文獻【12

5、】提供的逼近方法，利剛文獻‘91表1給出的吉(g2o．1～o．9，步長o．1，逼近誤差2dB)的逼近公式，進收稿日期：2005．02．16作者簡介：i每心(1963．)，男，博二f：，西南民族大學電氣信息學院教授基金項目：國家民委重點科研項目(批準號：05XN07)資助的課題．萬方數(shù)據(jù)第2期高心，周紅鷗：分數(shù)階系統(tǒng)的混沌特性及其控制291行我們的數(shù)值仿真分析．3分數(shù)階混沌系統(tǒng)模型所研究的系統(tǒng)是一個三階自治微分方程．將分數(shù)微分算子替換系統(tǒng)中的標準微分，則系統(tǒng)變?yōu)?da廠x=口(y—x)，坐：缸一施．(3)dt’絲：一c=+觸2．dt這里，口，∥，Y是分數(shù)階，a，b

6、，C，k和h是可變參數(shù)．當口=∥=Y=l時，方程(3)變等效為原系統(tǒng)，且a，b，c，k和h·分別為10，40，l，2．5，和4時，最大Lyapunov指數(shù)計算為1．326026，原系統(tǒng)出現(xiàn)混沌，系統(tǒng)的初始值選為(2．2，2．4，38)．相平面軌跡如圖1所示．從圖可見，該系統(tǒng)的混沌奇怪吸引子與Lorenz系統(tǒng)的不一樣的．．圖1．原(整數(shù)階)系統(tǒng)X-Z、x-y的相軌跡(a=10，b=40，k=1，c=2．5，h=4)當q=0．9，0．8時，系統(tǒng)(3)出現(xiàn)混沌吸引子，相平面軌跡如圖2所示．從圖可見，分數(shù)階系統(tǒng)的混沌吸引子類似于整數(shù)階系統(tǒng)的混沌吸引子．當q=0．7時，沒

7、有發(fā)現(xiàn)混沌．這表明，該系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的分數(shù)階的最低限制是q=0．7—0．8，因此我們得到了產(chǎn)生混沌的系統(tǒng)最低階數(shù)是2．4階．利用功率譜分析方法，驗證了我們的結(jié)果，如圖3所示．圖2．a(chǎn))分數(shù)階系統(tǒng)x-z相軌跡g=0．9∞=8，b=40，七=l，c=2．5，h=4)b)分數(shù)階系統(tǒng)X-Z相軌跡920．8∞=4，b=50，k=l，c=2．5，h=4)萬方數(shù)據(jù)292西南民族大學學報·自然科學版第32卷ILJki瀵刖．L“-“Jm▲山_L“山^．“iIdl_PI。啊●1：：娜_l哪?F嗍If胛聊忡O．3O●O．5●。3。2。1。詈。．'。．2。．3。．●。I』～4k：H．堋I

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