張偉線考研性代數001

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1、線性代數六大類考點線性代數?行列式?矩陣?向量?方程組張偉?特征值和特征向量zwpku@126.com?二次型2011-7-15第一講行列式2行列式部分重要考查知識點?行列式的定義第一講行列式?行列式按行（列）展開?行列式的性質?行列式的計算?證明

2、A

3、＝0?行列式的應用2011-7-15第一講行列式32011-7-15第一講行列式41行列式的定義行列式按行（列）展開?二階與三階行列式?行列式按行（列）展開定理?行列式定義2011-7-15第一講行列式52011-7-15第一講行列式6行列式的性質數值型行列式的重要公式與結論?經轉置以后行列式的

4、值不變。?某行有公因數k，可把k提取到行列式之?上（下）三角行列式外。?兩行互換，行列式變號。?拉普拉斯展開式?某行的k倍加至另外一行，行列式的值不變。?某行的所有元素都可以寫成兩個數的和，?范德蒙行列式則該行列式可以寫成兩個行列式的和。2011-7-15第一講行列式72011-7-15第一講行列式82例1.2例1.1abcda00b222211abcd=.3333abcd0ab022b+c+da+c+da+b+da+b+c=0ba033b00a442011-7-15第一講行列式92011-7-15第一講行列式10例1.4例1.3x?2x?1x

5、?2x?3a+xaaa12342x?22x?12x?22x?3設f(x)=,?xx003x?33x?24x?53x?5=4x4x?35x?74x?30?xx0則方程f(x)=0的根的個數為00?xx2011-7-15第一講行列式112011-7-15第一講行列式123例1.5例1.61111cba01200=001?a1030=010?b1004100?c2011-7-15第一講行列式132011-7-15第一講行列式14例1.7例1.8xaa?aa1+xa2a3?anaa+xa?aaxa?a123naaa+x?a=123naax?a=????

6、??????a1a2a3?an+xaaa?x2011-7-15第一講行列式152011-7-15第一講行列式164例1.9例1.10?2a1???1a0?021?a2a1?01a?0?a22a1?2設A=???BBB?@@@@=.?2?a2a1???2?000?a?a2a?n?1()n是n階矩陣,證明:A=n+1a.a00?1n2011-7-15第一講行列式172011-7-15第一講行列式18例1.11例1.12λ-21-1λ-3-9-6若1λ-41=0，則λ=若-1λ-3-2=0，則λ=-11λ-2-2-6λ-42011-7-15第一講行列

7、式192011-7-15第一講行列式205抽象型行列式的計算例1.13?重要公式,,,,為4維列向量，αβγγγn1231)A是n階矩陣，則

8、kA

9、=k

10、A

11、2)若A、B均為n階矩陣，則

12、AB︱=

13、A

14、

15、B

16、A=α,γ,γ,γ=4,1233)若A是n階矩陣，則

17、A*

18、=

19、A

20、n-14)若A是n階可逆矩陣,則

21、A-1

22、=

23、A

24、-1B=,,,=?3,βγγγ1235)若λ,λ,……λ是矩陣A的n個特征值，12n則

25、A

26、=λ1λ2……λn.則A+2B=.6)若A~B，則

27、A

28、=

29、B

30、2011-7-15第一講行列式212011-7-15第一講行列式22

31、例1.14??210??例1.15設矩陣A＝?120?，已知A為4階矩陣,3E?A、???001?A?E、A+2E均不可逆,矩陣B滿足ABA*=2BA*+E,且A的主對角線元素之和為4,求A.其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則B=2011-7-15第一講行列式232011-7-15第一講行列式246例1.17例1.16設A為3階矩陣，α，α，α為線性123已知A為3階矩陣,A、無關的3維列向量，且Aα=α+α，112A+E、A+2E均不可逆,Aα=α+α，Aα=α+α，則223331TA是A的轉置矩陣,則A=T?12(A+3E)(3E?A

32、)(9E?A)=2011-7-15第一講行列式252011-7-15第一講行列式26例1.18設α，α，α為3維列向量，123代數余子式A=(α,α,α),123B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)(1)代數余子式的定義已知A=1，則B=(2)代數余子式的性質2011-7-15第一講行列式272011-7-15第一講行列式287例1.19證明A=02354(1)Ax=0有非零解1?11?1?1A=(2)反證法，利用A找矛盾3572(3)r(A)

33、=?A(2)第4行元素余子式的和2011-7-15第一講行列式292011-7-15第一講行列式30例1.20例1.212設A為m×n矩陣，B為n×m