由遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)公式

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1、由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式-中學(xué)數(shù)學(xué)論文6/6由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式-中學(xué)數(shù)學(xué)論文6/6由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式王伯平（蘇州外國語學(xué)校，江蘇蘇州215011）摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)內(nèi)容，也是現(xiàn)行江蘇高考中經(jīng)常必考的考點(diǎn)，往往出現(xiàn)在填空題和最后的壓軸題中，綜合性比較強(qiáng)。而數(shù)列通項(xiàng)公式的求解往往是解決問題的關(guān)鍵，本文主要介紹由遞推關(guān)系式去求數(shù)列的通項(xiàng)公式的幾種常用方法。關(guān)鍵詞：遞推關(guān)系式；數(shù)列；通項(xiàng)公式中圖分類號：G633文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1005-6351(2013)-09-0091-02類型1：an+1=an+f（n）

2、，其中f（n）可以求和。例1：已知數(shù)列an滿足an+1=an+2n－1，a1=1，n∈N*，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．解：由an+1=an+2n－1得：an+1－an=2n－1，則a2－a1=1；a3－a2=3；a4－a3=5；……an－an－1=2n－3；（n≥2），相加得：an－a1=1+3+5+…+（2n－3）=（n－1）2，其中n≥2，所以當(dāng)n≥2時，an=n2－2n+2；當(dāng)n=1時，a1=1也滿足上式。所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2－2n+2．分析：求形如an－an－1=f（n），（f（n）為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）的數(shù)列通

3、項(xiàng)，可用累加法，即令n=2,3,…,n－1得到n－1個式子累加求得通項(xiàng)．類型3：遞推公式為an+1=pan+q（其中p,q均為常數(shù)，（pq(p-1)≠0））.例3：已知數(shù)列an滿足:a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．解：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），∴an+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an+1=2·2n－1，∴an=2n－16/6類型4：an+1=pan+f（n）例4：設(shè)數(shù)列an：a1=4,an=3an－1+2n－1,n≥2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．解：設(shè)bn=an+An+B，則a

4、n=bn－An－B，將an,an－1代入遞推式得：bn－An－B=3bn－1－A（n－1）－b+2n－1=3bn－1－（3A－2）n－（3B－3A+1）∴A=3A－2,B=3B－3A+1,∴A=1,B=1∴取bn=an+n+1，則bn=3bn－1，又b1=6，故bn=6×3n－1=2×3n∴an=2×3n－n－1分析：（1）本題只需構(gòu)造數(shù)列bn，消去f（n）帶來的差異．若f（n）為n的二次式，則可設(shè)bn=an+An2+Bn+C；（2）本題也可由an=3an－1+2n－1，an－1=3an－2+2（n－1）－1（n≥3）兩式相減得：an－an－1

5、=3（an－1－an－2）+2轉(zhuǎn)化為bn=pbn－1+q求之．類型5:an+1=pan+qn（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p-1)(q-1)≠0）.（或an+1=pan+rqn,其中p，q,r均為常數(shù)）例5:已知數(shù)列an滿足：an+1=2an+2n+1，a1=2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．6/66/66/6