函數(shù)最值問題的求解方法 畢業(yè)論文

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1、高等教育自學(xué)考試本科生畢業(yè)論文函數(shù)最值問題的求解方法專業(yè)：數(shù)學(xué)教育準(zhǔn)考證號(hào)：070105100111姓名：指導(dǎo)教師：完成時(shí)間：2013年11月25日-21-函數(shù)最值問題的求解方法摘要函數(shù)最值問題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要研究?jī)?nèi)容。它不僅僅只在教學(xué)中解決一些數(shù)學(xué)問題，而且經(jīng)常運(yùn)用于解決實(shí)際問題。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，常常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產(chǎn)出最多、效益最高但投入最小等之類的問題。生活中也時(shí)常會(huì)見到求用料最省、效率最高、利潤(rùn)最大等問題。而這些生活和經(jīng)濟(jì)問題一般都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)類問題來分析研究，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

2、為求函數(shù)最大（?。┲档膯栴}，即為函數(shù)的最值探討，這尤其對(duì)研究實(shí)際問題的人們來說尤為重要。而函數(shù)最值問題的解法包括一元函數(shù)和多元函數(shù)，同時(shí)也有初等與高等解法之分。本文主要通過從初等解法方面對(duì)一元函數(shù)最值問題進(jìn)行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數(shù)最值問題研究的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時(shí)應(yīng)注意的一些問題.關(guān)鍵詞函數(shù)最值高等解法初等解法微分-21-目錄1引言-4-2求函數(shù)最值的幾種解法探討-5-2.1判別式法-5-2.2配方法-6-2.3均值不等式法-6-2.4換元法-7-2.5三角函數(shù)法-8-2.6單調(diào)性法-9-

3、2.7導(dǎo)數(shù)法-9-3求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問題-10-3.1注意定義域-10-3.2注意值域-11-3.3注意參變數(shù)的約束條件-12-3.4注意對(duì)判別式的運(yùn)用-13-3.5注意均值不等式的運(yùn)用-13-4函數(shù)最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用-15-4結(jié)論-19-致謝-20-參考文獻(xiàn)-21--21-1引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要組成部分．處理函數(shù)最值的過程就是實(shí)現(xiàn)未知向已知、新問題向舊問題以及復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題的轉(zhuǎn)化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通常是將待解決的問題

4、通過一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題，從而獲得原問題的解答．函數(shù)最值問題是一類特殊的數(shù)學(xué)問題，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也占據(jù)著比較重要的位置，是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常見題型也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一．由于其綜合性強(qiáng)，解法靈活，故而解決這類問題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，并能綜合運(yùn)用各種所學(xué)知識(shí)技巧，靈活選擇合適的解題方法．函數(shù)最值的定義：一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是如果對(duì)于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最小值，記作；如果

5、對(duì)于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最大值，記作.函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況：（1）如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)，則是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值).（2）如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值.-21-2求函數(shù)最值的幾種解法探討2.1判別式法對(duì)于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當(dāng)變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一個(gè)有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件來求出的最值.例.求函數(shù)的最值.解：因?yàn)椋?，而?/p>

6、所以有所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.應(yīng)注意：用判別式法求函數(shù)的最值時(shí)，是表示或，并非要此二者同時(shí)成立.因此，在利用求出的的取值范圍：或且中，不能隨意斷定或，還必須求出與、對(duì)應(yīng)的-21-的值，并將其代入原來的函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)算，只有當(dāng)、的對(duì)應(yīng)值存在,并滿足所求得的不等式時(shí)，才能確定為原來函數(shù)的最值.2.2配方法如果給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，一般可用此法求解.例.求在區(qū)間內(nèi)的最值.解：配方得,因?yàn)?所以，從而當(dāng)即，取得最大值；當(dāng)即時(shí)取得最小值1.2.3均值不等式法設(shè)是n個(gè)正數(shù)，則有，其中等號(hào)成立的條件是.運(yùn)用均值不等式

7、求最值，必須具備三個(gè)必要條件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各項(xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件；“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值；“等”是等號(hào)成立的條件.例.設(shè)，求的最大值.解：由，有.又因?yàn)?=-21-其中當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，即時(shí)成立，故的最大值為.2.4換元法用換元法求函數(shù)最值，就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把某一部分看做一個(gè)整體或用一個(gè)新變?cè)獊泶妫_(dá)到化繁難為簡(jiǎn)易，化陌生為熟悉，從而使原問題得解.例.求函數(shù)的最值.解：因?yàn)?，即給定函數(shù)的定義域?yàn)椋?于是令，.則給定函數(shù)可變形為:==2[]-2==-21-而..又因在是增函數(shù)，所以

8、其最值在端點(diǎn)處取得.2.5三角函數(shù)法如果給定函數(shù)，經(jīng)變形后能化成：或（、是常數(shù)）的形式，則由或可知：當(dāng)或時(shí)，（設(shè)）當(dāng)或時(shí)，（設(shè)）例.求函數(shù)的最大值.解：因?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，所以，當(dāng)時(shí)，.-21-2.6單調(diào)性法當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時(shí)，有時(shí)也用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值．在