無理函數(shù)最值問題求解舉例

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1、無理函數(shù)最值問題求解舉例武延霞摘要：無理函數(shù)的最值問題在中學數(shù)學中求解比較困難，本文將結(jié)合例題給出無理函數(shù)最值問題的幾種解法，如換元法，微分法，幾何法，復數(shù)法，向量法等等。關(guān)鍵詞：無理函數(shù)最值復數(shù)法向量法數(shù)學屮的函數(shù)最值問題求解是常見的，在日常生產(chǎn)生活、科研小都會遇到。解決方法也是很多，如圖象法，均值不等式法，換元法，向量法等等，到大學的課程中我們常用的是求導法，這些方法在實際運用中靈活多變。而無理函數(shù)的最值問題在中學數(shù)學中求解比較休I難,本文將結(jié)合例題給出無理函數(shù)最值問題的幾種解法。1換元法：根據(jù)函數(shù)表達式的特點，將某一部分看作一個整體用一個新的變元來代替，以達到

2、簡化表達式、變?yōu)槭煜で乙子谇蠼獾男问?。?：求y=2x+1-4a/2x-1的最小值。解：函數(shù)的定義域為（丄,+8），令72%-1=u（u>0）,則x=222y=2F1—4w——4w+2=（%—2）“—2,???當況=2即兀=#時，歹取最小值一2。2微分法：若/（兀）在區(qū)間/上可導，％。是/（X）的唯一穩(wěn)定點，并且兒是/（兀）的極值點，則當兀0是極大（小）值點時,/（勺）就是于（兀）在/上的最大（?。┲怠?h例2：求y=--x+—4l+4x2C的最小值（%>0）o'24解：???y在［0,+g）上可導，所以,1V32x1V3x24271+4?2J1+4*令才=0得穩(wěn)定

3、點x0=±2V2（舍負）。又05兀Y—f=時,2V2Y0,XA時,2V2y>o.y的最小值為y=一*3務+V243幾何法：運用數(shù)形結(jié)合的思想將最值問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形的性質(zhì)問題，通過幾何的有關(guān)知識求解。例3：A、B兩地合用一個變壓器，若兩地用同型號線架設輸電線，問變壓器設在輸電干線上何處吋，所需輸電線最短。解：設CE長為x,[0,3]，由題意可知求出y=Vx2+1.52+7(3-x)2+12的最小值即可。又y=4+1.52+J(3_x)2+]2二J(x—0)2+(0—1.5)2+J(x—3)2+(0—1)建立直角處標系，如圖所示：則P(x,0),?(0,1.5),2(

4、3,1),原問題就轉(zhuǎn)化為求兀軸上一點P到兩點距離和的最小值問題。由幾何知識，點P在線段上時y取最小值(Q；為Q?關(guān)于x軸的對稱點)。此時1.5-0_1.5+10-x-0-3'???兀=1?8，y麗=

5、Q01=J(0_3)2+(1.5+1)2二￥????將變壓器建在C,D之問離Cl.SKm處所需輸電線最短。4復數(shù)法：求形如y=J/(兀)+Jg(x)的最小值，令復數(shù)可,$2滿足P1『=/(X)，

6、%『=g(X)且刃+刃或刃-刃為常數(shù),利用不等式

7、引+

8、%

9、>

10、j

11、±刃

12、來求解。例4：求慚數(shù)y=J兀$+9+7x2-8x+17的最小值。解：令+y2=x-4+z則y=低『+血

13、『=

14、引+

15、%

16、‘由不等式pi

17、+

18、%

19、^y{-y2可得yn卜+3i—兀+4—彳=

20、4+2i=2V5.2厲在這里能否取到呢?我們來驗證一下：若卩i

21、+

22、對=

23、刃則刃與％在同一條直線上且方向相反，??.兀+3,=-￡(x—4+i)伙aO).而由上式可推得k=—3,矛盾。???2循不是y的最小值。由此我們知道刃，刃不能任意取，究竟怎么樣取值才能使不等式區(qū)

24、+

25、%

26、、區(qū)土劉中等號成立?若想利用不等式中號，即區(qū)一勻引+

27、%

28、，取耳=兀+引，由刃一％為一常數(shù)，刃的實部需取%-4,設％的虛部為方，刃，％反向，則兀+引=—k(x—4+2)(RA0).:bY0,j?2=4—x

29、—i.此時y>y}+y2>y{-y2=x+3i-x4+i=

30、4+4z

31、=4^2,英屮不等號可以取到，.??y聞=4^2.同理,若想利用不等式中”+”號，即

32、刃+刃

33、勻引+

34、劉，取％二兀+3i,y2=4-x+ify>+y2>y{4-y2=x+3i+4—兀+彳=

35、4+4/[=4^2,同樣解出ymi?=4>/2.總結(jié)上述過程，我們可以用“用加取等號取反，用減取等號相同”來概括刃和％的取法,即如果利用區(qū)+刃

36、勻引+

37、刃

38、,我們?nèi)×暸c％中兀的符號相反;如果利用久-％

39、sI引+1%I，我們?nèi)∪信c％中X的符號相同。5向量法：構(gòu)造函數(shù)F(x)=aj/(兀)+b』g(

40、x)使(77w)+(Jg(x)『為常數(shù)。令Q=(Q,b),0=(J/(X),Jg(Q)，則F(x)-a(3-

41、6z

42、

43、^

44、cos^(&為a,0的夾角).根據(jù)&的取值范圍可以求得函數(shù)的最值。例6：求函數(shù)y=5vx-l+V10-X的值域。解：兀的定義域為[1,10],令q=(5,1),0=(V7H,J1O_Q,則閥=V26,

45、0

46、=3,???y-a[5-c^Pcos0-3^26cos0(0為a,0的夾角).???XG［1,10］吋0

47、創(chuàng)0

48、=3