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1、MonteCarlo方法黃世萍起源這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的"曼哈頓計(jì)劃"。MonteCarlo方法創(chuàng)始人主要是這四位：StanislawMarcinUlam,EnricoFermi,JohnvonNeumann和NicholasMetropolis。１MonteCarlo方法基礎(chǔ)MonteCarlo（MC）方法是在簡(jiǎn)單的理論準(zhǔn)則基礎(chǔ)上（如簡(jiǎn)單的物質(zhì)與物質(zhì)以及物質(zhì)與環(huán)境相互作用），采用反復(fù)隨機(jī)抽樣的手段，解決復(fù)雜系統(tǒng)的問題。該方法采用隨機(jī)抽樣的手法，可以模擬對(duì)象的概率與統(tǒng)計(jì)的問題。通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，該方法還可以解決確定性問題，如定積分等。隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，MC
2、方法已在應(yīng)用物理、原子能、固體物理、化學(xué)、材料、生物、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。MCmeothds"classical"MonteCarlo:samplesaredrawnfromaprobabilitydistribution,oftentheclassicalBoltzmanndistribution,toobtainthermodynamicpropertiesorminimum-energystructures;"quantum"MonteCarlo:randomwalksareusedtocomputequantum-mechanicalenergiesan
3、dwavefunctions,oftentosolveelectronicstructureproblems,usingSchr?dinger’sequationasaformalstartingpoint;"volumetric"MonteCarlo:randomnumbergeneratorsareusedtogeneratevolumesperatomortoperformothertypesofgeometricalanalysis;kinetic"MonteCarlo:simulateprocessesusingscalingargumentstoestablishtimesca
4、lesorbyintroducingstochasticeffectsintomoleculardynamics.MonteCarlo方法的基本思想MonteCarlo方法的基本思想是:為了求解某個(gè)問題，建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ突螂S機(jī)過程，使得其參量（如事件的概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等）等于所求問題的解，然后對(duì)模型或過程進(jìn)行反復(fù)多次的隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，最后計(jì)算所求參量，得到問題的近似解。MonteCarlo方法是隨機(jī)模擬方法；它不僅限于模擬隨機(jī)性問題，還可以解決確定性的數(shù)學(xué)問題。對(duì)隨機(jī)性問題，可以根據(jù)實(shí)際問題的概率法則，直接進(jìn)行隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，即直接模擬方法。對(duì)于確定性問題采
5、用間接模擬方法，即通過統(tǒng)計(jì)分析隨機(jī)抽樣的結(jié)果獲得確定性問題的解。用MonteCarlo方法解決確定性的問題主要是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如計(jì)算重積分、求逆矩陣、解線性代數(shù)方程組、解積分方程、解偏微分方程邊界問題和計(jì)算微分算子的特征值等。用MonteCarlo方法解決隨機(jī)性問題則在眾多的科學(xué)及應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，如中子在介質(zhì)中的擴(kuò)散問題、庫存問題、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的排隊(duì)問題、動(dòng)物的生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)、傳染病的蔓延等。簡(jiǎn)單的例子對(duì)積分進(jìn)行變換，構(gòu)造新的被積函數(shù)g（x），使得該函數(shù)滿足下列條件：g（x）是連續(xù)隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)。定積分是概率積分，其積分值等于概率Pr（a≤ξ≤b），即這個(gè)步驟就是將一個(gè)積分
6、轉(zhuǎn)化為一個(gè)概率模型的過程；然后，反復(fù)多次的隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，以抽樣結(jié)果的統(tǒng)計(jì)平均作為索求概率的近似值，從而求得該積分。具體試驗(yàn)步驟如下：（1）產(chǎn)生服從給定分布函數(shù)g（x）的隨機(jī)變量值xi（2）檢查xi是否落入積分區(qū)域（a≤x≤b），如果滿足條件，則記錄一次。反復(fù)進(jìn)行上述試驗(yàn)。假設(shè)在N次試驗(yàn)后，xi落入積分區(qū)域的總次數(shù)為m，那么，積分值近似表示為對(duì)于隨機(jī)性問題，可直接將實(shí)際的隨機(jī)問題抽象為概率數(shù)學(xué)模型，然后與求解確定性問題一樣進(jìn)行抽樣試驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)計(jì)算。MonteCarlo方法解決實(shí)際問題的過程中，主要有以下幾個(gè)內(nèi)容①建立簡(jiǎn)單而又便于實(shí)現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)模型，使所求的解正是該模型的某一事件的概率或數(shù)學(xué)期望
7、，或該模型能夠直接描述實(shí)際的隨機(jī)過程。②根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)模型的特點(diǎn)和計(jì)算的需求，改進(jìn)模型，以便減小方差和減低費(fèi)用，提高計(jì)算效率。③建立隨機(jī)變量的抽樣方法，包括偽隨機(jī)數(shù)和服從特定分布的隨機(jī)變量的產(chǎn)生方法。④給出統(tǒng)計(jì)估計(jì)值及其方差或標(biāo)準(zhǔn)誤差。One-DimensionalIntegralsMethodicalapproachesrectanglerule,trapezoidrule,Simpson’sruleQuadrature
