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《微積分思想的產(chǎn)生與發(fā)展歷史》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、微積分思想的產(chǎn)生與發(fā)展歷史陳紀(jì)修在微積分產(chǎn)生之前，數(shù)學(xué)發(fā)展處于初等數(shù)學(xué)時期。人類只能研究常量，而對于變量則束手無策。在幾何上只能討論三角形和圓，而對于一般曲線則無能為力。到了17世紀(jì)中葉，由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，人們開始關(guān)注變量與一般曲線的研究。在力學(xué)上，人們關(guān)心如何根據(jù)路程函數(shù)去確定質(zhì)點的瞬時速度，或者根據(jù)瞬時速度去求質(zhì)點走過的路程。在幾何上，人們希望找到求一般曲線的切線的方法，并計算一般曲線所圍圖形的面積。令人驚訝的是，不同領(lǐng)域的問題卻歸結(jié)為相同模式的數(shù)學(xué)問題：求因變量在某一時刻對自變量的變化率；因變量在一定時間過程中所積累的變化。前者導(dǎo)致了微分的概念
2、；后者導(dǎo)致了積分的概念。兩者都包含了極限與無窮小的思想。一．極限、無窮小、微分、積分的思想在中國古代早已有之公元前4世紀(jì)，中國古代思想家和哲學(xué)家莊子在《天下篇》中論述：“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一?！逼渲写笠缓托∫痪褪菬o窮大和無窮小的概念。而“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”更是道出了無限分割的極限思想。公元3世紀(jì)，中國古代數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的割圓術(shù)，即用無窮小分割求面積的方法，就是古代極限思想的深刻表現(xiàn)。他用圓內(nèi)接正多邊形的邊長來逼近圓周，得到了3.141024???3.142704，并深刻地指出：“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則
3、與圓周合體而無所失矣?！蔽覈媳背瘯r期的數(shù)學(xué)家祖暅（中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之之子）發(fā)展了劉徽的思想，在求出球的體積的同時，得到了一個重要的結(jié)論（后人稱之為“祖暅原理”)：“夫疊基成立積，緣冪勢既同，則積不容異。”用現(xiàn)在的話來講，一個幾何體(“立積”)是由一系列很薄的小片(“基”)疊成的；若兩個幾何體相應(yīng)的小片的截面積(“冪勢”)都相同，那它們的體積(“積”)必然相等。利用祖暅原理求球體的體積：取一個幾何體為上半球體2222222{x?y?z?R,z?0}；將圓柱體{x?y?R,0?z?R}減去（即挖去）倒立的圓錐{222x?y?z,0?z?R}視為另一個幾何體
4、。則對任意的0?z?R，過(0,0,z)點作水平截面，得到的截口面積相等，都為2243?(R?z)，由此得到球體的體積為V??R。3二．十七世紀(jì)前微分學(xué)與積分學(xué)的發(fā)展歷史公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家安提豐（Antiphon）創(chuàng)立了“窮竭法”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形當(dāng)邊數(shù)不斷增加，最后多邊形就與圓相合。公元前2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）對“窮竭法”作出了巧妙的應(yīng)用，他在《論拋物線求積法》中用“窮竭法”求拋物弓形的面積，他構(gòu)造一系列三角形使它們的面積和不斷接近拋物弓形的面積，這就是極限理論的最初形式。在《論球和柱體》一書中，阿基米德首先得到了
5、球和球冠的表面積、球和球缺的體積的正確公式。阿基米德的著作代表了古希臘數(shù)學(xué)的頂峰。1615年，德國數(shù)學(xué)家開普勒（J.Kepler,1571-1630）用無窮小微元來確定曲邊形的面積與體積。他把圓看作邊數(shù)無限多的多邊形，圓周上每一點看作是頂點在圓心高等于半徑的極小等腰三角形的底，于是圓面積就等于圓周長與半徑乘積之半。他把球看作面數(shù)無限多的多面體，球面上每一點看作是頂點在球心高等于半徑的極小圓錐的底，于是球體積就等于球表面積與半徑乘積之三分之一。他還用無窮小方法精確地計算出酒桶的體積，并寫了《測量酒桶體積的新科學(xué)》，書中包含了87種不同的旋轉(zhuǎn)體的體積計算。開普
6、勒最重要的貢獻(xiàn)是提出了行星運行三大定律：（1）行星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在此橢圓的一個焦點上。（2）從太陽到行星的向徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。（3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比?？梢哉f這是天文學(xué)上劃時代的貢獻(xiàn)，也是數(shù)學(xué)史上重要的里程碑。牛頓就是應(yīng)用開普勒的行星運行三大定律，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。為了確定第二定律，Kepler將橢圓中被掃過的那部分圖形分割成許多小的“扇形”，并近似地將它們看成一個個小的三角形，運用了一些出色的技巧對它們的面積之和求極限，成功地計算出了所掃過的面積。在其卓有成效的工作中
7、，已包含了現(xiàn)代定積分思想的雛形。積分學(xué)的歷史可追溯至古希臘，它跨越了二千多年歷史。而微分學(xué)的歷史相對要短得多，這是因為積分學(xué)研究的問題是靜態(tài)的，而微分學(xué)研究的問題是動態(tài)的，它涉及到運動。直到17世紀(jì)，微分學(xué)才得到重大突破。微分學(xué)主要來源于兩個問題的研究：曲線的切線問題與函數(shù)的極大、極小問題。法國數(shù)學(xué)家費爾馬（P.Fermat,1744-1825）在這兩個問題上作出了主要貢獻(xiàn)。費爾馬在處理這兩個問題時，都是先對自變量取增量，再讓增量趨于零，這就是微分學(xué)的本質(zhì)所在。費爾馬也在積分學(xué)方面做了許多工作，如求面積、體積、重心等問題。但可惜的是他沒有發(fā)現(xiàn)微分學(xué)與積分學(xué)
8、這兩類問題之間的基本聯(lián)系。另一位已經(jīng)走到了微積分基本定理的門口的是
