微積分思想的產(chǎn)生與發(fā)展歷史

《微積分思想的產(chǎn)生與發(fā)展歷史》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、微積分思想的產(chǎn)生與發(fā)展歷史陳紀(jì)修在微積分產(chǎn)生之前，數(shù)學(xué)發(fā)展處于初等數(shù)學(xué)時(shí)期。人類只能研究常量，而對(duì)于變量則束手無(wú)策。在幾何上只能討論三角形和圓，而對(duì)于一般曲線則無(wú)能為力。到了17世紀(jì)中葉，由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，人們開始關(guān)注變量與一般曲線的研究。在力學(xué)上，人們關(guān)心如何根據(jù)路程函數(shù)去確定質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度，或者根據(jù)瞬時(shí)速度去求質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程。在幾何上，人們希望找到求一般曲線的切線的方法，并計(jì)算一般曲線所圍圖形的面積。令人驚訝的是，不同領(lǐng)域的問(wèn)題卻歸結(jié)為相同模式的數(shù)學(xué)問(wèn)題：求因變量在某一時(shí)刻對(duì)自變量的變化率；因變量在一定時(shí)間過(guò)程中所積累的變化。前者導(dǎo)致了微分的概念

2、；后者導(dǎo)致了積分的概念。兩者都包含了極限與無(wú)窮小的思想。一．極限、無(wú)窮小、微分、積分的思想在中國(guó)古代早已有之公元前4世紀(jì)，中國(guó)古代思想家和哲學(xué)家莊子在《天下篇》中論述：“至大無(wú)外，謂之大一；至小無(wú)內(nèi)，謂之小一?！逼渲写笠缓托∫痪褪菬o(wú)窮大和無(wú)窮小的概念。而“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！备堑莱隽藷o(wú)限分割的極限思想。公元3世紀(jì)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的割圓術(shù)，即用無(wú)窮小分割求面積的方法，就是古代極限思想的深刻表現(xiàn)。他用圓內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)來(lái)逼近圓周，得到了3.141024???3.142704，并深刻地指出：“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則

3、與圓周合體而無(wú)所失矣。”我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅（中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之之子）發(fā)展了劉徽的思想，在求出球的體積的同時(shí)，得到了一個(gè)重要的結(jié)論（后人稱之為“祖暅原理”)：“夫疊基成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異。”用現(xiàn)在的話來(lái)講，一個(gè)幾何體(“立積”)是由一系列很薄的小片(“基”)疊成的；若兩個(gè)幾何體相應(yīng)的小片的截面積(“冪勢(shì)”)都相同，那它們的體積(“積”)必然相等。利用祖暅原理求球體的體積：取一個(gè)幾何體為上半球體2222222{x?y?z?R,z?0}；將圓柱體{x?y?R,0?z?R}減去（即挖去）倒立的圓錐{222x?y?z,0?z?R}視為另一個(gè)幾何體

4、。則對(duì)任意的0?z?R，過(guò)(0,0,z)點(diǎn)作水平截面，得到的截口面積相等，都為2243?(R?z)，由此得到球體的體積為V??R。3二．十七世紀(jì)前微分學(xué)與積分學(xué)的發(fā)展歷史公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家安提豐（Antiphon）創(chuàng)立了“窮竭法”，認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形當(dāng)邊數(shù)不斷增加，最后多邊形就與圓相合。公元前2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes）對(duì)“窮竭法”作出了巧妙的應(yīng)用，他在《論拋物線求積法》中用“窮竭法”求拋物弓形的面積，他構(gòu)造一系列三角形使它們的面積和不斷接近拋物弓形的面積，這就是極限理論的最初形式。在《論球和柱體》一書中，阿基米德首先得到了

5、球和球冠的表面積、球和球缺的體積的正確公式。阿基米德的著作代表了古希臘數(shù)學(xué)的頂峰。1615年，德國(guó)數(shù)學(xué)家開普勒（J.Kepler,1571-1630）用無(wú)窮小微元來(lái)確定曲邊形的面積與體積。他把圓看作邊數(shù)無(wú)限多的多邊形，圓周上每一點(diǎn)看作是頂點(diǎn)在圓心高等于半徑的極小等腰三角形的底，于是圓面積就等于圓周長(zhǎng)與半徑乘積之半。他把球看作面數(shù)無(wú)限多的多面體，球面上每一點(diǎn)看作是頂點(diǎn)在球心高等于半徑的極小圓錐的底，于是球體積就等于球表面積與半徑乘積之三分之一。他還用無(wú)窮小方法精確地計(jì)算出酒桶的體積，并寫了《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》，書中包含了87種不同的旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算。開普

6、勒最重要的貢獻(xiàn)是提出了行星運(yùn)行三大定律：（1）行星在橢圓軌道上繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)在此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。（2）從太陽(yáng)到行星的向徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。（3）行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方與其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比?？梢哉f(shuō)這是天文學(xué)上劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，也是數(shù)學(xué)史上重要的里程碑。牛頓就是應(yīng)用開普勒的行星運(yùn)行三大定律，通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律。為了確定第二定律，Kepler將橢圓中被掃過(guò)的那部分圖形分割成許多小的“扇形”，并近似地將它們看成一個(gè)個(gè)小的三角形，運(yùn)用了一些出色的技巧對(duì)它們的面積之和求極限，成功地計(jì)算出了所掃過(guò)的面積。在其卓有成效的工作中

7、，已包含了現(xiàn)代定積分思想的雛形。積分學(xué)的歷史可追溯至古希臘，它跨越了二千多年歷史。而微分學(xué)的歷史相對(duì)要短得多，這是因?yàn)榉e分學(xué)研究的問(wèn)題是靜態(tài)的，而微分學(xué)研究的問(wèn)題是動(dòng)態(tài)的，它涉及到運(yùn)動(dòng)。直到17世紀(jì)，微分學(xué)才得到重大突破。微分學(xué)主要來(lái)源于兩個(gè)問(wèn)題的研究：曲線的切線問(wèn)題與函數(shù)的極大、極小問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（P.Fermat,1744-1825）在這兩個(gè)問(wèn)題上作出了主要貢獻(xiàn)。費(fèi)爾馬在處理這兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，都是先對(duì)自變量取增量，再讓增量趨于零，這就是微分學(xué)的本質(zhì)所在。費(fèi)爾馬也在積分學(xué)方面做了許多工作，如求面積、體積、重心等問(wèn)題。但可惜的是他沒有發(fā)現(xiàn)微分學(xué)與積分學(xué)

8、這兩類問(wèn)題之間的基本聯(lián)系。另一位已經(jīng)走到了微積分基本定理的門口的是