微積分的產(chǎn)生與發(fā)展

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1、微積分的產(chǎn)生與應用一、微積分產(chǎn)生背景在十六世紀末、十七世紀初的歐洲,文藝復興帶來了人們思維方式的改變.資本主義制度的產(chǎn)生,使社會生產(chǎn)力大大得到解放.資本主義工廠手工業(yè)的繁榮和向機器生產(chǎn)的過渡,促使技術科學和數(shù)學急速向前發(fā)展.在科學史上,這一時期出現(xiàn)了許多重大的事件,向數(shù)學提出了新的課題.公元1492年,哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸,證實了大地是球形的觀念;1543年,哥白尼發(fā)表了《天體運行論》,使神學的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動搖;開普勒在1609~1619年,總結(jié)出行星運動的三大定律,導致后來牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn);1609年伽里略用自制的望遠鏡觀察了月亮、金星、

2、木星等星球,把人們的視野引向新的境界.這些科學實踐拓展了人們對世界的認識,引起了人類思想上的質(zhì)變.十六世紀對數(shù)學的研究從常量開始進入了變量的領域.這成為數(shù)學發(fā)展史上的一個轉(zhuǎn)折點,也是“變量”數(shù)學發(fā)展的第一個決定性步驟.由于“變量”作為新的問題進入了數(shù)學,對數(shù)學的研究方法也就提出了新的要求.在十七世紀前半葉,解析幾何的觀念已經(jīng)有一系列優(yōu)秀的數(shù)學家接近了.但是十七世紀三十年代,解析幾何才被笛卡爾(Descartes,R.(法)1596~1650)和費爾馬(Fermat,P.de(法)1601~1665)創(chuàng)立.在解析幾何里,由于建立了坐標系,可以用字母表示變動的坐標

3、,用代數(shù)方程刻畫一般平面曲線,用代數(shù)運算代替幾何量的邏輯推導,從而把對幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對解析式的研究,使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來了.這種新的數(shù)學方法的出現(xiàn)與發(fā)展,使數(shù)學的思想和方法的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化,恩格斯把它稱為數(shù)學的轉(zhuǎn)折點.此后人類進入了變量數(shù)學階段,也是變量數(shù)學發(fā)展的第一個決定性步驟.為十七世紀下半葉微積分算法的出現(xiàn)準備了條件。二、微積分的產(chǎn)生過程微積分是經(jīng)過長時間的醞釀才產(chǎn)生的.微積分的原理可以追溯到古代.在中國,公元前4世紀的桓團、公孫龍等所提出的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”;公元3世紀的劉徽,公元5~6世紀的祖沖之、祖暅對圓周率、面積以及

4、體積的研究,都包含有極限和微積分的思想萌芽.在歐洲,公元前3世紀古希臘的歐幾里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes約公元前287~212)所建立的確定面積和體積的方法,也都包含有上述萌芽.在十六世紀末、十七世紀初,由于受力學問題的研究、函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問題可以用代數(shù)方法來解決的影響,促使許多數(shù)學家去探索微積分.開普勒(Kepler.J.(德)1571~1630)、卡瓦列里(Cavalieri,F(xiàn).B.(意)1598~1647)和牛頓的老師巴羅(Barrow,I.(英)1630~1677)等人也研究過這些問題,但是沒有形成理論和普遍適用的方法.

5、1638年,費爾馬首次引用字母表示無限小量,并運用它來解決極值問題.稍后,他又提出了一個與現(xiàn)代求導過程實質(zhì)相同的求切線的方法,并用這種方法解決了一些切線問題和極值問題.后來,英格蘭學派的格雷果里(Gregory,J(英)1638~1675)、瓦里斯(Wallis,J.(英)1616~1703)繼續(xù)費爾馬的工作,用符號“0”表示無限小量,并用它進行求切線的運算.到十七世紀早期,他們已經(jīng)建立起一系列求解無限小問題的特殊方法.諸如,求曲線的切線、曲率、極大極小值,求運動的瞬時速度以及面積、體積、曲線長度、物體重心的計算等.但他們的工作差不多都局限于一些具體問題的細節(jié)

6、之中,還缺乏普遍性的規(guī)律.到了十七世紀,有許多科學問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來,大約有四種主要類型的問題:第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的,也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力?!∪⒐糯林惺兰o的有關研究工作早在古代數(shù)學中,就產(chǎn)生了微分和積分這兩個概念的思想萌芽,形成兩種基本的數(shù)學運算。兩者分別地被人們加以研究和發(fā)展。歷史上,積分思想先于微分思想出現(xiàn),而不象今天

7、的《數(shù)學分析》所講授的那樣,先微分后積分。積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中,在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學文獻中都有涉及這類問題的思想和方法。如:古希臘的阿基米德(公元前287―212)用邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積,稱為“窮竭法”。中國魏晉時代的劉徽在其《九章算術注》(公元263年)中,對于計算圓面積提出了著名的“割圓術”,他解釋說:“割之彌細,所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣?!边@些都是原始的積分思想。又如,中國清代著名數(shù)學家李善蘭獨創(chuàng)的“尖錐術”,已使中國步入了微積分的大門。但還未形成多大影響時,西方的微

8、積分就傳入了中國。16世紀以后,歐洲數(shù)

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