微積分的產(chǎn)生與發(fā)展

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1、微積分的產(chǎn)生與發(fā)展摘要：微積分是近代數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容,是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ),也是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑。它推動(dòng)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展,推動(dòng)其它學(xué)科的發(fā)展,推動(dòng)了人類(lèi)文明和技術(shù)的發(fā)展。關(guān)鍵詞：微積分產(chǎn)生發(fā)展;微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱，它的數(shù)學(xué)思想方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。其中“無(wú)限細(xì)分”是微分，“無(wú)限求和”是積分。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系發(fā)展起來(lái)的，它的產(chǎn)生與發(fā)展共經(jīng)過(guò)了4個(gè)階段。1、微積分雛形時(shí)期微積分的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期,早在古希臘時(shí)期,歐多克斯(Eudoxus約公元前408一355)就提出了

2、窮竭法,這是極限理論的先驅(qū)。它指出,“一個(gè)量如減去大于其一半的量,再?gòu)挠嘞碌牧恐袦p去大于該余量一半的量,這樣一直下去,總可使某一余下的量小于已知的任何量?！边@個(gè)定義使得古希臘數(shù)學(xué)家在所有論證中都不用“無(wú)窮小量”這個(gè)詞,僅僅使用只需有限步可做到的窮竭法就夠了。真正成為積分學(xué)萌芽的當(dāng)推阿其米德,(Arehimede：公元前287一212)的工作。他在《拋物線求積法》中用窮竭法求出拋物線弓形的面積。應(yīng)該指出，盡管古希臘數(shù)學(xué)家未使用無(wú)窮小無(wú)窮大,但古希臘哲學(xué)家卻對(duì)“無(wú)限”作過(guò)許多研究。例如,亞里士多德(Aristotle公元前

3、384一332)就嚴(yán)格區(qū)分實(shí)無(wú)限和潛無(wú)限且只承認(rèn)潛無(wú)限。值得我們每個(gè)中國(guó)人引以為榮的是我國(guó)古代很早就有了極限意識(shí),莊子(公元前355一275)在《天下篇》中曰：“一尺之垂,日取其半,萬(wàn)世不竭?！边@一闡述極具極限思想,令世人矚目。公元3世紀(jì)，我國(guó)魏晉時(shí)期的劉徽用“割圓術(shù)”求出π的近似值，在求球體體積與牟合方蓋體積之比時(shí)，用到“卡瓦列里”原理，只是沒(méi)有將它們進(jìn)行總結(jié)。劉徽的“割圓術(shù)”和他的體積理論的思想是定積分理論的雛形。劉徽的思想由祖沖之和他的兒子祖暅之推進(jìn)和發(fā)展，他們將劉徽創(chuàng)立的特殊形式的不可分量方法用于球的體積問(wèn)題上

4、，取得突破性進(jìn)展，使球體積問(wèn)題得以解決。2、微積分醞釀時(shí)期16世紀(jì)末17世紀(jì)初的歐洲，文藝復(fù)興促進(jìn)人們思維方式的改變。為解決天文、力學(xué)等方面的問(wèn)題，必須提供必要的數(shù)學(xué)工具，這時(shí)產(chǎn)生的4類(lèi)問(wèn)題即求即時(shí)速度、求曲線的切線、求函數(shù)的最值和求積問(wèn)題向數(shù)學(xué)提出新的挑戰(zhàn)。由于4類(lèi)問(wèn)題的產(chǎn)生，使得微積分的問(wèn)題被提上日程。17世紀(jì)許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述4類(lèi)問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾，英國(guó)的巴羅、瓦里士，德國(guó)的開(kāi)普勒，意大利的伽利略、卡瓦列里等人都提出許多很有建樹(shù)的理論，為微積分的創(chuàng)立做出貢獻(xiàn)

5、。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法，又利用不可分量建立不可分量原理，使早期積分學(xué)突破體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法過(guò)渡。笛卡爾在《幾何學(xué)》中提出求切線的“圓法”，在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡爾圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。費(fèi)馬在1637年提出求極值的代數(shù)方法，這種方法幾乎相當(dāng)于現(xiàn)今微分學(xué)中所用的方法。笛卡爾與費(fèi)馬所創(chuàng)立的解析幾何方法的出現(xiàn)與發(fā)展，使數(shù)學(xué)的思想和方法的發(fā)展發(fā)生質(zhì)的變化，為17世紀(jì)下半葉微積分算法的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。3、微積分創(chuàng)立時(shí)期17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基

6、礎(chǔ)上，英國(guó)科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成微積分的創(chuàng)立工作，他們把切線問(wèn)題和求積問(wèn)題聯(lián)系在一起。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。牛頓對(duì)微積分的研究始于1664年秋，1666年10月整理成《流數(shù)簡(jiǎn)論》，這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)，標(biāo)志著微積分的誕生。他在《流數(shù)簡(jiǎn)論》中提出面積計(jì)算與求切線問(wèn)題的互逆關(guān)系，建立“微積分基本定理”。在《流數(shù)簡(jiǎn)論》的其余部分，牛頓將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)，求積，求引力等16類(lèi)問(wèn)題，展示了他算法的極大普

7、遍性與系統(tǒng)性。萊布尼茨于1684年發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小和求切線的新方法》，這是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。他在這篇論文里定義了微分并廣泛采用微分記號(hào)，陳述他在1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式。萊布尼茲還得出復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)轿⒎址▌t，后來(lái)又將乘積微分的“萊布尼茲法則”推廣到高階情形。牛頓雖然也發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用了這些法則，但卻沒(méi)有去陳述一般公式，他更大的興趣是微積分方法的直接應(yīng)用，在文獻(xiàn)《一種求極大與極小和求切線的新方法》中還包含了微分法求極大、極小值，求拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面

8、的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》，初步論述積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系。在這篇論文中，積分號(hào)第一次出現(xiàn)在出版物上。萊布尼茲所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在人們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)