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1、反常積分 習題課March28,2012本章主要內(nèi)容反常積分的定義；反常積分斂散性的判斷;反常積分的計算;廣義積分的性質(zhì)反常積分的定義反常積分的定義方法是通過對定積分取極限來定義的.分為兩類反常積分:無限區(qū)間上的反常積分和瑕積分.不定積分、定積分和反常積分中可積的含義是不同的：不定積分可積是指其能用初等函數(shù)族表示；定積分可積是指其Riemann和的極限存在；反常積分可積指的是反常積分收斂。例題舉例說明反常積分不具有乘積可積性若反常積分收斂,則稱f在[a,b]上平方可積.試在無窮限反常積分和瑕積分兩種情況下討論反常積分平方可積性與絕對可積性之間的關
2、系.反常積分斂散性的判別充要條件:Cauchy收斂原理:…..非負函數(shù)反常積分的判別法:i)比較判別法及極限形式:ii)Cauchy判別法及極限形式:一般函數(shù)反常積分的判別法:i)Abel判別法:ii)Dirichlet判別法:例子設f在[a,+∞),(a>1)上內(nèi)閉可積,且反常積分收斂,證明收斂討論下列反常積分的斂散性:(1)(2)(3)例子討論反常積分的斂散性.若收斂判斷條件收斂還是絕對收斂?設p>0,證明反常積分在時發(fā)散,在時條件收斂,在時絕對收斂反常積分的計算(Euler積分)(Froullani積分)設函數(shù)f(x)在[0,+∞]上連續(xù),
3、極限f(+∞)存在且有限,實數(shù)a,b>0,求反常積分的性質(zhì)(1)絕對可積的反常積分必可積.(2)與定積分不同的一個性質(zhì):兩個反常積分收斂的被積函數(shù)之積的反常積分未必收斂(可積)(3)反常積分具有絕對可積性,而定積分沒有絕對可積性.(3)收斂無限反常積分的被積函數(shù)在無窮遠的性質(zhì):例子(注意結(jié)論):若收斂,且,則A=0若收斂,且單調(diào),則有設收斂,且被積函數(shù)f(x)在[a,+∞]上一致連續(xù),則設f(x)在[a,+∞]上可導,且與都收斂,證明
