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《一道習(xí)題的變式與反思》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、探索角例1如圖1所示，、分別是中和的平分線。圖1試說(shuō)明。分析：可以先在中，得到，然后再將，代入，就可以用、表示，最后用代換，從而確定與的關(guān)系。解：∵、分別平分和，∴，，在中，，∴，在中，，∴。圖2說(shuō)明：（1）此題中與之間的關(guān)系并不明朗，解題過(guò)程中，要充分利用已知條件，步步轉(zhuǎn)化，最終將與之間的間接關(guān)系轉(zhuǎn)化為直接關(guān)系。（2）此題另一關(guān)鍵是將與看成一個(gè)整體進(jìn)行變形，這種整體思想也是數(shù)學(xué)中基本思想方法。變式一：如圖2所示，、分別是的兩外角平分線，試說(shuō)明。-6-圖3變式二：如圖3所示，①，，則；②，，則與是什么關(guān)系呢？例2如圖4所示，已知，請(qǐng)解
2、答下列問(wèn)題：（1）圖（1）中、、之間具有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由。（2）圖（2）中的5個(gè)角具有什么關(guān)系？（3）圖（3）中的7個(gè)角具有什么關(guān)系？你能得出什么一般性質(zhì)結(jié)論。圖4（1）（2）（3）分析：（1）由，不能直接得到、、之間的關(guān)系，因此需要添加輔助線，過(guò)點(diǎn)作，就可以運(yùn)用兩直線平行的性質(zhì)。（2）可類似（1）的思路進(jìn)行解答。（3）分析（1）、（2）兩小題的結(jié)果，尋找一般規(guī)律，再歸納出一般結(jié)論。圖5解：（1）如圖5所示，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴,∴，，∴，即（2）圖4（2）5個(gè)角的關(guān)系是，同樣可用作平行線的方法說(shuō)明理由（請(qǐng)同學(xué)們自已動(dòng)手解決）。-6-（
3、3）圖4（3）中7個(gè)角的關(guān)系是。由此可得一般性結(jié)論：奇數(shù)號(hào)角之和等于偶數(shù)數(shù)號(hào)之和。例3如圖6所示，在中，平分，平分的外角，與交于點(diǎn)，（1）①，②，③，分別求的度數(shù)。（2）根據(jù)以上求解的過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)與之間有什么關(guān)系？（3）如圖7所示，在中，，延長(zhǎng)到，與的角平分線交于點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是多少？圖6請(qǐng)同學(xué)們自己思考解決圖6參考答案：變式二：例3（1）；；。（2）。（3）。由一道習(xí)題所想到的-6-解題是創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，因此，同學(xué)們不要小看每一個(gè)解題過(guò)程，在解答數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候要充分挖掘習(xí)題的可變性，
4、從不同的層次、角度思考進(jìn)行一題多變，這樣對(duì)拓寬同學(xué)們的思維視野，培養(yǎng)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和創(chuàng)造性、發(fā)展智力是大有裨益的．例如：題目：已知，如圖1，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)O做DE∥BC交AB于D，交AC于E.求證：（1）∠BOC+∠A；（2）DE=BD+CE.解析：(1)因?yàn)?，OB平分∠ABC，所以，∠2=∠ABC；123456ADBCEO圖1因?yàn)椋琌C分∠ACB，所以，∠4=∠ACB.所以，∠2+∠4=∠ABC+∠ACB=（ABC+∠ACB）=（∠A）=∠A；∠BOC=（∠2+∠4）=（∠A）=+∠A.（2）因?yàn)椋?/p>
5、OB平分∠ABC，所以，∠1=∠2，因?yàn)?，DE∥BC，所以，∠2=∠3，因此，∠1=∠3，所以，DB=DO.同理，EC=EO.所以，DE=DO+OE=BD+CE.解答完畢，我們不要草草收兵，要進(jìn)行解題后的再反思，這樣做可以提高大家的數(shù)學(xué)水平．反思1：這里的∠BOC是△ABC兩內(nèi)角平分線的交角，它和∠A的關(guān)系是∠BOC=+∠A．如果是△ABC兩條外平分線的交角，還是否有這種關(guān)系呢？如果是△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的交角，那么這種關(guān)系還是否成立呢？我們不妨簡(jiǎn)單證明一下：如圖2、3中∠BOC與∠A的關(guān)系并不滿足-6-ABCEO
6、12圖2ABCDO12圖3∠BOC=+∠A，圖2中，∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=∠A，圖3中，∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=∠A．理由如下：如圖2，因?yàn)?，∠DBC是△ABC的外角，所以，∠DBC=∠A+∠ACB，因?yàn)?，∠ECB是△ABC的外角，所以，∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A，因?yàn)椋琌B平分∠DBC，所以，∠DBC=2∠1，因?yàn)?，OC分∠ECB，所以，∠ECB=2∠2，所以，2∠1+2∠2=∠A，所以，∠1+∠2=+∠A，∠BOC=（∠1+∠2）=（+∠A）=∠A（4）如圖
7、3，因?yàn)?，∠ACD是△ABC的外角，所以，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD－∠ABC=∠A．因?yàn)?，OB平分∠ABC，∠ABC=2∠1，OC分∠ACD，所以，∠ACD=2∠2所以，2∠2－2∠1=∠A，所以，∠2－∠1=∠A因?yàn)椋?是△BOC的外角，所以，∠2=∠1+∠BOC，所以，∠2－∠1=∠BOC，所以，∠BOC=∠A．反思2：-6-12345ABCEDEO圖5如果將題目中的兩條內(nèi)角平分線改成兩條外角平分線，或者改成一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線，其他的條件不變，那么DE、BD、CE這三條線段之間的關(guān)系是否還成立呢？如圖4和5
8、.123456ABCDOE圖4觀察圖4，這種關(guān)系還是成立的，即,圖5這種關(guān)系是不成立的，但圖5中它們之間的關(guān)系是,理由如下：（5）如圖4，因?yàn)镺B平分∠DBC，所以，∠1=∠2，因?yàn)?，DE∥BC，所以，∠2=∠3，所以，
