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1、鄭州大學博士學位論文穿衣方法與離散可積系統(tǒng)姓名：朱俊逸申請學位級別：博士專業(yè)：基礎數學指導教師：耿獻國20060501鄭州大學博十學位論文摘要穿衣方法最早是由zakhrov和shabat在上個世紀70年代創(chuàng)立的，它從一個積分算子F和兩個voltcⅡa算子K+出發(fā)，利用積分算子的三角分解關系得到Gel'fand工evitan方程．然后利用穿衣關系將已知常系數可交換微分算子(初始算子)Mhf．1，2，變?yōu)榭山粨Q的穿農算子Mj，J=1，2，并由此得到非線性演化方程．為了得到此方程的解，就需要從積分算子F與已知算子M，，J=1，2的可交換性求得積分核F，最后由Gel’fand—Le
2、vit矗n方程構造出微分核Ⅳ的表達式，從而可得方程的解．推廣的穿衣方法是由常系數可交換的算子Mf，J=1，2，推廣為變系數的算子，并且滿足推廣的可交換關系利用定理2．3，以及與上面的方法相平行的方法，就可以得到一系列的變系數演化方程，以及它們的解．利用這種推廣的穿衣方法，可以得到一大類的演化方程，而不再是孤單的一個方程．接下來，作者利用推廣的穿衣方法首先考慮了AKNs譜問題，利用兩組變系數初始算子對，分別得到變系數耦合mKdV方程和變系數耦合NLs方程，同時，還給出它們的顯式解．并利用分解的思想，將(2+1)．維變系數KP方程分解為已得的(1十1)一維變系數耦合mKdV方程
3、和變系數禍合NLs方程，然后利用(1+1)一維變系數耦合mKdv方程和變系數耦合NLs方程的相容解，得到變系數KP方程的顯式解．作者考慮推廣穿衣方法的另一個應用是得到交系數Ds方程，同時，得到它們的顯式解．穿衣方法的理論發(fā)展主要有兩種：一種是基于硒emaIln—Hilbert問題的穿衣方法，即一定程度上的經典Darboll)【變換方法；另一種是基于局部孕問題的石．穿衣方法．本文在第3部分首先介紹了壓穿衣方法，包括方程的構造和解的構造，然后介紹了正交曲紋坐標系，Gauss—Lam∈方程和Gauss—codaZzi方程．由于已經知道Gauss—codazzi方程的解，而可積系統(tǒng)
4、與可積幾何之間的關系也已經被建立起來．作者利用Gauss-Lam∈方程和適當的約束條件將上述二者聯系起來，利用已知的Gauss—codazzi方程的解來求解具體的可積方程．作為例子，本文考慮了sine-Gordon方程和Tzitzeica方程，并給出它們的新解．在第4部分，考慮了一個離散譜問題．將它的伴隨譜問題同時展開為^的正冪和負冪多項式，由此得到了一族離散方程，同時還利用跡恒等式給出了該族離散方程的Hamilton結構．接下來，本文又考慮了兩個(1+1)一維變形1bda鏈．而這兩個(1+1)一維離散方程恰為由伴隨譜問題分別按矗的正冪和負冪展開所得到的第一個非平凡方程．最
5、后，利用La](矩陣的有限階展開方法給出這兩第1頁鄭州大學博士學位論文個變形Toda鏈的擬周期解．在本文的第5部分作者首先考慮了一個離散Toda族，通過建立位勢與特征函數之間的Ba曙maIlIl約束給出了新的辛映射和有限維HaIIlilton系統(tǒng)，然后用母函數方法計算了守恒積分的對合性，并且利用橢圓坐標證明了守恒積分的獨立性，從而證明了辛映射和有限維HaIIlil鼢1系統(tǒng)在Liouvme意義下的完全可積性．接著，作者又考慮了一個(2+1)維T0da鏈．利用分解的方法將這個(2+1)維鏈分解為兩個可解的(1+1)維相關Toda鏈．借助特征函數所滿足的Lax方程解矩陣，通過對L
6、ax矩陣的有限階展開，建立了橢圓坐標和(1+1)維相關Toda鏈的解之間的直接的關系．引入Abel．Jacobi坐標，進行了連續(xù)流和離散流的拉直．最后利用鼬emann-Jacobi反演方法得到(1+1)維相關Toda鏈和(2+1)維T0da鏈的擬周期解．在本文的這六章，作者將非線性化方法應用到離散Ablowitz—Ladik族．導出了一個新的辛映射和一類新的有限維Hamilton系統(tǒng)，并且進一步證明了它們在LiouviⅡe意義下是完全可積的．作為應用，給出一種算法來求解離散Ablowitz．Ladik族的解。關鍵詞：穿衣方法；離散可積系統(tǒng)；擬周期解第1I頁鄭州大學博士學位論
7、文ABSTRACTThe出essingmethodwasdeVel叩edbyZakhamVaIldShabatin1970s皿estartingpointoft圭leppoced_IlreiIlvolvesthefactorizationofaIlinte鏟aloperatorFonthelineas山eproductoftwo、，oltemtypeinte掣alopemtorsK±，f而mwhichtheGel’fand—Levit觚equationisobtained．111esevolterra叩erator
