關(guān)于函數(shù)值域與最值問題的求法

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1、關(guān)于函數(shù)值域與最值問題的求法摘要：　　關(guān)于函數(shù)的值域與最值的求法，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)。在現(xiàn)行高中教材中沒有專門安排有關(guān)內(nèi)容作出介紹，但在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中、練習(xí)、習(xí)題中，乃至高中畢業(yè)會(huì)考題中、高考題中，卻處處可遇到求函數(shù)值域與最值的問題。因此，我們有必要對(duì)求函數(shù)的值域與最值的方法作出充分的歸納與認(rèn)識(shí)。本文就高中數(shù)學(xué)的要求，對(duì)常見的一些方法作出下列歸納與介紹。關(guān)鍵詞：　　函數(shù)的值域，函數(shù)的最值，方法。函數(shù)的值域與最值是兩個(gè)不同的概念，一般說來，求出了一個(gè)函數(shù)的最值，未必能確定該函數(shù)的值域，反之，一個(gè)函數(shù)的值域被確定

2、，這個(gè)函數(shù)也未必有最大值或最小值。但是，在許多常見的函數(shù)中，函數(shù)的值域與最值的求法是相通的、類似的。關(guān)于求函數(shù)值域與最值的方法也是多種多樣的，但是有許多方法是類似的，歸納起來，常用的方法有：⑴配方法；⑵反函數(shù)法；⑶判別式法；⑷換元法（含式代換、三角代換等）；⑸單調(diào)性法；⑹不等式法；⑺數(shù)形結(jié)合法等。下面就這些方法逐一說明它們的運(yùn)用。⒈　配方法利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、圖象作出分析，特別是求某一給定區(qū)間的最值與值域。此方法一般可解決形如y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函數(shù)的值域與最值。例1、求函數(shù)y=x2-6x+2的值域

3、。解法一：∵　y=x2-6x+2＝(x-3)2－7　　　　又∵(x-3)2≥0　　　　　∴(x-3)2－7≥－7　　　　∴函數(shù)的值域是［－7，＋∞）＃這里用到了配方法求函數(shù)的值域。解法二：二次函數(shù)y=x2-6x+2是對(duì)稱軸為x=3，開口向上的拋物線，故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值f(3)＝－7?！　　嗪瘮?shù)的值域是［－7，＋∞）＃第6頁這里運(yùn)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求值域。一般地，求一次、二次函數(shù)的值域與最值，還要考慮它們的定義域。例如，在例1中將題目改為：y=sin2x-6sinx+2，則函數(shù)的值域就不是［－7，＋∞）了。因?yàn)楫?dāng)x∈R

4、時(shí)，sinx∈[-1,1]，而sinx取不到3，則函數(shù)值取不到－7。解法一：∵　y=sin2x-6sinx+2　　　　　?。?sinx-3)2-7　　（配方法）　　　又∵sinx∈[-1,1]，　　　　∴函數(shù)的值域是［－3，9］＃解法二：令sinx=t，則y=t2-6t+2t∈[-1,1]它的圖象是拋物線的一段（如圖）　　　　　　∴函數(shù)的值域是［－3，9］＃在此方法中用到了數(shù)形結(jié)合的方法。⒉　反函數(shù)法由互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)，可以通過求反函數(shù)的定義域來確定已知函數(shù)的值域。例2、求函數(shù)y=的值域。解：由于函數(shù)　y=　　的映射

5、是一一映射（證明略）故反函數(shù)存在，其反函數(shù)為y=(x≠)∴函數(shù)的值域?yàn)閧y

6、y≠，且y∈R}＃說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用于形如y=(c≠0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法（見方法5）。第6頁⒊　判別式法一般地，求形如y=的有理分式函數(shù)的值域，可把原函數(shù)化成關(guān)于x的一元二次方程：　f(y)x2+g(y)x+ψ(y)=0,根據(jù)方程的判別式Δ＝g2(y)-4f(y)ψ(y)≥0求出y的取值范圍，從而得出原函數(shù)的值域。但要注意幾點(diǎn)：⑴在Δ≥0中，應(yīng)考慮“＝”能否成立；⑵由于在

7、變形過程中涉及到去分母，故應(yīng)考慮函數(shù)的定義域是否為R；⑶f(y)≠0，應(yīng)驗(yàn)證f(y)＝0的情況。否則用“判別式法”求出的值域與最值是不可靠的。例3、求函數(shù)y=的值域。解：視y為參數(shù)，解關(guān)于x的方程，得　　　(y-2)x2+(y+3)x+(y-1)=0......(＊)∵原函數(shù)的定義域?yàn)镽　　當(dāng)y≠2時(shí)，方程（＊）有解的充要條件為　　　　Δ＝(y+3)2-4(y-2)(y-1)≥0解此不等式，得.又當(dāng)y=2時(shí)，x=∴函數(shù)的值域是⒋　換元法當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時(shí)，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個(gè)

8、（或幾個(gè)）新的量來代替原來的量，實(shí)行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向。換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）。在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點(diǎn)代換、參數(shù)代換。例4、求函數(shù)y=的最值。第6頁解:令=t(t≥0)，則x=t2-2，從而y=≥0當(dāng)t=0，即x=-2時(shí)，ymin=0當(dāng)t＞0時(shí)，y=（當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，上式等號(hào)成立）于是當(dāng)x=()2-2=－時(shí)，ymax=＃這里用到了式代

9、換及均值不等式的方法。例5、求函數(shù)y=x+的值域。分析：注意到sin2θ+cos2θ=1，故此可令x=sinθ.解：∵1-x2≥0,∴

10、x

11、≤1,設(shè)x=sinθ(θ∈)，則　　　y=sinθ+cosθ=sin(θ+)∵#這里用到了三角代換。⒌　單調(diào)