函數(shù)的值域與最值

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1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義函數(shù)的值域與最值【基本概念】求函數(shù)最值的基本方法：1、配方法（二次函數(shù)）2、分離常數(shù)法（分式函數(shù)）3、反函數(shù)法（分式函數(shù)）4、基本函數(shù)性質(zhì)法5、換元法[換元必?fù)Q限]（無理函數(shù)、高次函數(shù)等）6、基本不等式法（耐克函數(shù)）7、單調(diào)性法（單調(diào)區(qū)間上的值域與最值）8、數(shù)形結(jié)合法【典型例題】例1：求下列函數(shù)的值域。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）[解一]分離常數(shù)法：[解二]反函數(shù)法：（2）基本函數(shù)性質(zhì)法：又（3）換元法：令，則（4）基本不等式法：令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅

2、當(dāng)即時(shí)取等號(hào)∴（5）單調(diào)性法：在上單調(diào)增且在上單調(diào)增在上單調(diào)增（6）數(shù)形結(jié)合法：設(shè)、，則設(shè)即例2：函數(shù)在區(qū)間上的值有正有負(fù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：令①若顯然不符題意②若∴綜上所述，例3：已知函數(shù)，為在上的最小值，求函數(shù)的最大值并畫出的圖象。解：①即時(shí)，在上遞增②即時(shí)，圖5-1③即時(shí)，在上遞減∴綜上所述，圖象如圖5-1所示，由圖象可知例4：根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的值。（1）函數(shù)在區(qū)間上有最大值2；-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義（2）函數(shù)在區(qū)間上有最大值7；（3）函數(shù)在區(qū)間上有最大值3。解：（1）①若則符合題意②若則均不符題意（舍）③若則符合題意∴綜上

3、所述，或（2）①若則不符題意（舍）②若則符合題意③若則符合題意∴綜上所述，或（3）①若此時(shí)對(duì)稱軸符合題意②若此時(shí)對(duì)稱軸符合題意③若此時(shí)對(duì)稱軸不符題意∴綜上所述，或例5：已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)a、b的值。解：①區(qū)間在直線左側(cè)時(shí)，在上遞減-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義則（舍）②區(qū)間在直線右側(cè)時(shí)，在上遞增則（舍）③直線落在區(qū)間內(nèi)∴綜上所述，、例6：對(duì)于函數(shù)若同時(shí)滿足以下條件：①在D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間，使在上的值域是，則稱函數(shù)為“閉函數(shù)”。（1）求“閉函數(shù)”符合條件②的區(qū)間；（2）函數(shù)是不是“閉函數(shù)”？若是，請(qǐng)求出區(qū)間；若不是，請(qǐng)說明

4、理由；（3）若函數(shù)是“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：（1）在D上單調(diào)遞減，則即區(qū)間為（2）不是單調(diào)函數(shù)，故不是“閉函數(shù)”（3）由題意知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義例7：已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)。（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值。解：（1）當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，不具有奇偶性①當(dāng)時(shí)若，則在上單調(diào)遞減若，則②當(dāng)時(shí)若，則若，則在上單調(diào)遞增∴綜上所述，【一講一練】一、填空題（每空格4分，共40分）1、求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義2、函數(shù)在時(shí)有最大值2，則。3、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3

5、、最小值為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。4、若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)，且值域?yàn)榈摹皩\生函數(shù)”共有個(gè)。5、若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。6、若函數(shù)在上有最小值（a、b為非零常數(shù)），則函數(shù)在上的最大值為。二、選擇題（每小題4分，共16分）7、若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（）(A)(B)(C)(D)8、設(shè)函數(shù)，是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（）(A)(B)(C)(D)9、對(duì)，記，函數(shù)的最小值是（）(A)0(B)(C)(D)310、若函數(shù)對(duì)于任意t都有，且在區(qū)間上有最大值5、最

6、小值1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）(A)(B)(C)(D)三、解答題（共44分）11、（本大題有2小題，第1小題4分，第2小題4分，共8分）已知函數(shù)。（1）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義（2）若的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。12、（本大題有2小題，第1小題5分，第2小題5分，共10分）已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)有最小值。（1）求的解析式；（2）求的解集。13、（本大題有2小題，第1小題4分，第2小題8分，共12分）已知函數(shù)。（1）解不等式；（2）求在區(qū)間上的最大值。14、（本大題有3小題，第1小題4分，第2小題4分，第3小題

7、6分，共14分）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果滿足存在區(qū)間使得在的值域?yàn)椋敲春瘮?shù)叫做上的“k級(jí)矩形”函數(shù)。（1）設(shè)函數(shù)是上的“1級(jí)矩形”函數(shù)，求常數(shù)a、b的值；（2）是否存在區(qū)間使函數(shù)在區(qū)間上是“k級(jí)矩形”函數(shù)？若存在，求出常數(shù)a、b、k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)函數(shù)是上的“3級(jí)矩形”函數(shù)，求常數(shù)a、b的值?！緟⒖即鸢浮?、（1）（2）（3）（4）（5）2、3、4、95、6、57、A8、C9、C10、B11、解：（1）定義域?yàn)镽（2）值域?yàn)镽取遍一切正數(shù)①時(shí)的值域?yàn)镽符合題意②時(shí)-9-高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義∴12、解：（1）令，則（2）13

8、、解：（1）（2）函數(shù)圖象如圖5-2所示①時(shí)，在上遞增②時(shí)，圖5-2③時(shí)，在上遞增∴綜上所述，14、解：（1）∵在上單調(diào)遞增又在上為“1級(jí)矩形”函數(shù)a、b是的兩個(gè)不