函數(shù)的值域與最值

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1、函數(shù)的值域與最值知識梳理求函數(shù)的值域和求函數(shù)的最值實質(zhì)上是同一問題，只是答題的方式有所差異，因此求函數(shù)值域的方法，也是求函數(shù)的最值的方法。求函數(shù)值域（最值）的常用方法：(1)配方法：主要適用于可化為二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的范圍；(2)判別式法：主要適用于可化為關(guān)于的二次方程的函數(shù)．由且，求得的范圍或最值(若求最值在求出的值后，要檢驗這個值在定義域內(nèi)是否有相應的的值;若是求值域應判斷時的值是否在函數(shù)的定義域內(nèi))；(3)不等式法：利用基本不等式求值域（最值）時一定要注意等號成立的條件；(4)換元法：運用代數(shù)或三角代換將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易確定值域（最值）的另一函數(shù)，

2、從而求得原來函數(shù)的值域。用換元法時一定要注意新變元的取值范圍；(5)數(shù)形結(jié)合法：對于圖形較容易畫出的函數(shù)的值域（最值）問題可借助圖象直觀求出；(6)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值域（最值），特別是閉區(qū)間上函數(shù)的值域（最值）．(7)利用函數(shù)有界性.借助于某些函數(shù)(如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等)的有界性求另一些函數(shù)的值域.1具體函數(shù)值域（最值）具體函數(shù)值域（最值）的求法主要是根據(jù)不同類型,采用適當?shù)姆椒ㄇ蠼?在求值域的過程中應特別注意函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)值域的制約作用。【例題1】求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【分析】根據(jù)不同的類型采有不同的方法.【答案】（

3、1）（配方法），∴的值域為．（2）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，∴原函數(shù)的值域為．（法二）分離變量法：，∵，∴，∴函數(shù)的值域為．（3）換元法（代數(shù)換元法）：設，則，∴原函數(shù)可化為，∴，∴原函數(shù)值域為．（4）數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域為．（5）判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域為．由得：①①當即時，①即，∴②當即時，∵時方程恒有實根，∴，∴且，∴原函數(shù)的值域為．（6），∵，∴，∴，當且僅當時，即時等號成立．∴，∴原函數(shù)的值域為．【點評】說明：形如或型函數(shù)值域問題均可采用代數(shù)換元法2復合函數(shù)值域復合函數(shù)求值域是一個難點，對于復合函數(shù)求值域問題應注意握兩點：一、復合函數(shù)的定義域

4、；二、復合函數(shù)的單調(diào)性?！纠}2】己在函數(shù)fx=1-2ax-a2xa>1（1）求函數(shù)的值域；（2）若時，函數(shù)的最小值為-7，求的值并求的最大值。【分析】按復合函數(shù)求值域的方法求解?！敬鸢浮拷猓海?），因為，所以<2-1=1,所以函數(shù)的值域為.（2）因為a>1，所以當時，，所以，所以，即，此時的最大值為.【點評】復合函數(shù)求值域一定要注意復合以前各個函數(shù)的單調(diào)性。3函數(shù)值域綜合問題函數(shù)值域綜合問題主要體現(xiàn)在應用函數(shù)值域解決相關(guān)問題如：求參數(shù)值、參數(shù)范圍、恒成立問題等。主要方法是根據(jù)函數(shù)求值域的方法結(jié)合題目條件得到相關(guān)的不等式或方程，通過解不等式或方程使問題得到解決。【例題3】若關(guān)于的方程有

5、實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【分析】將方程有實根轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.【答案】解：原方程可化為，令，則，，又∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，即，故實數(shù)的取值范圍為：．【點評】換元后成為二次函數(shù),應注意其對稱軸與區(qū)間(0,1]的關(guān)系.鞏固練習對于滿足的一切實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍.中心道【例題4】某地有A、B、C、D四個村莊，恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上，為發(fā)展經(jīng)濟，當?shù)卣疀Q定建立一個使任何兩個村莊都有通道的道路網(wǎng)，道路網(wǎng)由一條中心道及四條支線組成，要求四條支道的長度相等（如圖）.問中心道長為何值時,道路網(wǎng)的總長度最短?【分析】寫出道路總長度表達式,利用函數(shù)最值問題求解.【答案】解

6、：設中心道長度為2km(0<<1),則道路總長度為,所以,即…①,因為0<<1,所以△=,又,解得.將代入①式可得,適合題意.所在中心道長度為km時,道路網(wǎng)總長度最短.【點評】使用判別式法求最值，最后一定要驗證函數(shù)取得最值時是否存在對應的x的值。小試身手【考題再現(xiàn)】1．(05年湖南卷文)某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15x2和L2=2x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為A．45.606B．45.6C．45.56D．45.512．(04年上海卷文)某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是

7、邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積8m2.問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最省?3．（06年江蘇卷）設a為實數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a)。（Ⅰ）設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）試求滿足的所有實數(shù)a【模擬訓練】1．（06年山東實驗中學文）已知時，求函數(shù)的最小值.2.（06年河南實驗中學）已知函數(shù)當時.求內(nèi)的值域.3.（06年山西實驗中學）已知