研修作業(yè)一題多解一題多變

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1、一題多變一題多解——談?wù)剤A錐曲線中的變式題問題1：設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足.證明：點(diǎn)總在定直線上.解答：第（1）題易得橢圓方程為（過程略）；主要第（2）題證明如下：ABPQ如圖，設(shè)，由三角形的相似得：化簡得：現(xiàn)設(shè)直線（k必存在）代入橢圓方程，得：由韋達(dá)定理，得：代入式，化簡得：，代入直線方程，得：兩式聯(lián)立，消去，得：，即點(diǎn)在定直線上，得證.變1：設(shè)橢圓，當(dāng)過點(diǎn)（其中）的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足證明：點(diǎn)在定直線上.變2：設(shè)雙曲

2、線，過點(diǎn)（其中）的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩不同點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足證明：點(diǎn)在定直線上.證明：這兩個(gè)命題可以一起證。統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為（，且不同時(shí)小于）（注：實(shí)際上還可包括圓）；設(shè)直線（注：當(dāng)k不存在的情況需另行證明，這里略），兩式聯(lián)立，消去，得：設(shè)，得現(xiàn)設(shè)，由條件知，點(diǎn)在線段外，不失一般性，在圖象中，從左到右這四個(gè)字母的順序是，故由三角形的相似得：，即現(xiàn)韋達(dá)定理代入式，化簡得：，化簡得：點(diǎn)在直線上，得證.變3：設(shè)拋物線，當(dāng)過點(diǎn)（其中）的動(dòng)直線與拋物線相交于兩不同點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足證明：點(diǎn)在定直線上.證明：設(shè)直線，代入

3、拋物線方程，得：設(shè)，得現(xiàn)設(shè)，由條件知，點(diǎn)在線段外，不失一般性，在圖象中，從左到右這四個(gè)字母的順序是，故由三角形的相似得：，即：現(xiàn)韋達(dá)定理代入式，化簡得：，化簡得：點(diǎn)在直線上，得證.問題2：（同問題1）變1：已知定點(diǎn)和橢圓，直線分別與橢圓相切于點(diǎn)，直線PAB與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，Q在線段AB上，若滿足，則點(diǎn)Q在定直線MN上.證明：由問題2的變1的結(jié)論，只需證：切點(diǎn)M，N在定直線上.先在橢圓方程里對(duì)求導(dǎo)，得：設(shè)切點(diǎn)M（N）的坐標(biāo)是，代入式，得化簡，得切點(diǎn)M，N在定直線上.得證.變2：已知定點(diǎn)和拋物線，直線分別與拋物線相切于點(diǎn)，直線

4、PAB與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，Q在線段AB上，若滿足，則點(diǎn)Q在定直線MN上.證明：由問題2的變3的結(jié)論，只需證：切點(diǎn)M，N在定直線上.先在拋物線方程里對(duì)求導(dǎo)，得：設(shè)切點(diǎn)M（N）的坐標(biāo)是，代入式，得化簡，得切點(diǎn)M，N在定直線上.問題3：橢圓左右焦點(diǎn)是，拋物線的焦點(diǎn)也是，點(diǎn)M是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，求橢圓方程.解答：由共焦點(diǎn)知：橢圓中的；又拋物線的準(zhǔn)線必過橢圓的左焦點(diǎn)，所以所以變1：設(shè)拋物線和橢圓的公共焦點(diǎn)為，是橢圓的左焦點(diǎn)，是兩曲線的交點(diǎn)，橢圓的離心率是的面積是，則：證明：（1）由共焦點(diǎn)知，，聯(lián)立，得：（2）（3）設(shè)，則又

5、由余弦定理，（4）變2：設(shè)拋物線和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，是雙曲線的左焦點(diǎn)，是兩曲線的交點(diǎn)，雙曲線的離心率是的面積是，則：證明：（1）由共焦點(diǎn)知，，聯(lián)立，得：（2）（3）設(shè)，則又由余弦定理，（4）變3：設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，的面積為，證明：證明：（1）由共焦點(diǎn)知：聯(lián)立方程組：兩式相加，得：所以：，所以：同理可證：(2)由(1),得：(3)設(shè),由(2)：又由余弦定理，(4)由橢圓和雙曲線的第一定義，分別得：所以：問題4：設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，定點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.證明：設(shè)，（這里m

6、是定值，n是變量）切點(diǎn)對(duì)雙曲線兩邊求導(dǎo)，得：點(diǎn)代入，得：，化簡，得：同理，點(diǎn)代入，得：即所在直線為：令，則即也在直線上，所以三點(diǎn)共線.變1：已知雙曲線及定點(diǎn)，過直線上任一點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：三點(diǎn)共線.變2：已知及定點(diǎn)，過直線上任一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：三點(diǎn)共線.證明：這兩個(gè)命題可以一起證。統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為（，且不同時(shí)小于）（注：實(shí)際上還可包括圓）兩邊求導(dǎo)，得：設(shè)，（這里m是定值，n是變量）代入，得：，即：所以同理，代入，得所以所在直線方程為令，得，即點(diǎn)在直線上.變3：已知拋物線及定點(diǎn)，過

7、直線上任一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：三點(diǎn)共線.證明：對(duì)兩邊求導(dǎo)，設(shè)，（這里m是定值，n是變量）代入，得：，即：所以：同理，代入，得所以所在直線方程為，令，得即點(diǎn)在直線上.問題5：過定點(diǎn)（0

8、在直線上.變2：已知橢圓及定點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過A，B作橢圓的兩條切線，交于點(diǎn)P，證明：P在直線上.證明：這兩個(gè)命題可以一起證。統(tǒng)一設(shè)橢圓和雙曲線的方程為（，且不同時(shí)小于）（注：實(shí)際上還可包括圓）則定點(diǎn)為對(duì)兩邊求導(dǎo)，得：設(shè)，代入，得：，即：所以