波與古典軌跡的連結(jié)波與古典軌跡的連結(jié)波與古典軌跡的...

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1、電物9421070波與古典軌跡的連結(jié)賴國瑋從量子力學(xué)的薛丁格方程式，我們可以解出物質(zhì)的波函數(shù)，可是波函數(shù)是以波的數(shù)學(xué)形式寫下來的，和我們一般視物質(zhì)為粒子的觀念大不相同。然而量子力學(xué)勢必要和古典有所連接，畢竟我們看到的古典現(xiàn)象是事實(shí)。唯一能連結(jié)波和粒子特性的東西，就只有deltafunction了(在此指的是在某區(qū)域間有特大峰值即可)，因?yàn)楹枚鄠€(gè)波以不同的相位相疊加(因?yàn)檠Χ「穹匠淌骄€性的，所以其解作線性疊加仍為其解)，就可以疊出deltafunction，而deltafunction就和我們熟知的粒子特性相契合。首先

2、寫出三個(gè)用平面波疊加的deltafunctions：1i(m?m)'φedφ=δ∫m,n---------------(1)2πφMsin[(2M+)1]ikφ2∑e=φ---------------(2)k=?Msin2?k?kk0+sin(x)2ikxik0x2∫edk=ex---------------(3)?kk0?22因?yàn)檫@三個(gè)式子後面的推導(dǎo)會(huì)用到，扮演重要的角色，所以先列出來。CircularBilliard為了形成古典的面貌，現(xiàn)在舉circularbilliard(圓形彈子球檯)為例子。circular

3、billiard的位能條件為V=∞,r>a；V=0,0

4、unction經(jīng)過一番疊加形成平面波exponential的形式。z=kr所以令iθt=e1iθ?iθ∞kr(e?e)2inθ?e=∑Jn(kr)en=?∞1∞kr2i?sinθ2inθe=∑Jn(kr)en=?∞∞ikr?sinθinθe=∑Jn(kr)en=?∞為了讓sin變成cos，我把θ換成θ-ψ+π/2π∞πikr?sin(θ?φ+)in(θ?φ+)e2=∑J(kr)e2nn=?∞∞πin(θ?φ+)ikr?cos(θ?φ)2e=∑Jn(kr)en=?∞∞πinki?r2inθ?inφe=∑Jn(kr)ee

5、en=?∞2πimφ∫edφ兩邊同乘以※以投影的方式取出第m項(xiàng)，用到式(1)02π2π∞πinimφikr?cos(θ?φ)2inθi(m?n)φeedφ=eJ(kr)eedφ∫∫∑n00n=?∞∞π2ππinim2inθi(m?n)φ2imθ=∑eJn(kr)e∫edφ=eJm(kr)en=?∞02ππim(φ?)2ikr?cos(θ?φ)imθ?eedφ=J(kr)e∫m-----------(4)0※等式右邊正是我們之前預(yù)期的波的形式?！F(xiàn)在變成平面波疊加成Besselfunction。Superpositio

6、n現(xiàn)在準(zhǔn)備要開始疊加了，可是問題重重。第一行進(jìn)軌跡無窮多種，要選哪一種？第二要選擇哪些states去做疊加？第三要怎麼決定古典軌跡的參數(shù)？首先我選的軌跡是「會(huì)重複的軌跡」(即p/q為有理數(shù))，再來我選擇的states是古典軌跡的k附近k的states，也就是說那些states擁有的k，是古典附近的k，把那些states疊加起來就會(huì)得到coherentstate，而coherentstate就是我們要的軌跡。當(dāng)初薛丁格就是用這個(gè)方法疊加出coherentstate來解釋他的方程式解出來的氫原子電子的波函數(shù)雖然是到處分布

7、的，但是經(jīng)過適當(dāng)疊加還是會(huì)出現(xiàn)粒子的圖像。接著要決定古典軌跡的參數(shù)：pp參數(shù)：(p,q)；軌跡總長=2aqsin(π)；內(nèi)接圓半徑=acos(π)≡Rminqq(p,q)=(3,1)(4,2)(5,1)(5,2)從薛丁格方程得知：(其中E為總能，L為角動(dòng)量，μ為物質(zhì)質(zhì)量)L=mh022222hkLLL=E==2=22p2μ2I2μRmin2μ?acos(qπ)m0?k=←古典軌跡的kpacos(π)q接下來將式(4)的m換成m+qs(即m附近的m)，對(duì)s做疊加：00M2ππi(m0+qs)(φ?)2ikr?cos(θ

8、?φ)∑∫eedφs=?M02ππMπim0(φ?)iqs(φ?)∫e2eikr?cos(θ?φ)∑e2dφ=0s=?M?π?q(φ?)??22ππ?sin[(2M+)1]?im0(φ?)ikr?cos(θ?φ)?2?e2edφ∫??=π(這裡用到(2)式)0?q(φ?)??2?sin??2??上式大括弧裡的式子，圖形如左圖，但是為了簡化計(jì)算，